T4: Funciones · Puntos de inflexión y recta normal — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Puntos de inflexión y recta normal

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

Calcula $a, b, c$ y $d$ sabiendo que la gráfica de la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene un punto de inflexión en $(0, 4)$ y su recta normal en el punto $(1, 8)$ es paralela al eje de ordenadas.

Funciones polinómicasDerivabilidadPunto de inflexión+1

La función dada es $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ . Para resolver el problema, necesitamos calcular sus derivadas primera y segunda.

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Cálculo de

b

d

La gráfica de la función tiene un punto de inflexión en $(0, 4)$ . Esto implica dos condiciones:1. El punto $(0, 4)$ pertenece a la gráfica de la función, por lo tanto $f(0) = 4$ .

f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d

De donde obtenemos que $d = 4$ .2. En un punto de inflexión, la segunda derivada es cero, es decir, $f''(0) = 0$ .

f''(0) = 6a(0) + 2b = 2b

De donde obtenemos que $2b = 0$ , lo que implica $b = 0$ .

Cálculo de

a

c

El punto $(1, 8)$ pertenece a la gráfica de la función, por lo tanto $f(1) = 8$ .

f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d

Sustituyendo los valores de $b=0$ y $d=4$ encontrados previamente:

a + 0 + c + 4 = 8 \\ a + c = 4 \quad (Ecuación \, 1)

La recta normal en el punto $(1, 8)$ es paralela al eje de ordenadas (eje Y). Esto significa que la recta normal es una recta vertical, cuya pendiente es indefinida. La pendiente de la recta normal es el opuesto del inverso de la pendiente de la recta tangente, $m_n = -1/f'(1)$ . Si la pendiente de la normal es indefinida, entonces la pendiente de la tangente en ese punto debe ser $0$ , es decir, $f'(1) = 0$ .

f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3a + 2b + c

Sustituyendo el valor de $b=0$ :

3a + 2(0) + c = 0 \\ 3a + c = 0 \quad (Ecuación \, 2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la Ecuación 1 y la Ecuación 2:

\begin{cases} a + c = 4 \\ 3a + c = 0 \end{cases}

Restando la Ecuación 1 de la Ecuación 2:

(3a + c) - (a + c) = 0 - 4 \\ 2a = -4 \\ a = -2

Sustituimos $a = -2$ en la Ecuación 1:

-2 + c = 4 \\ c = 6

Valores finales:

Los valores de las constantes son:

a = -2 \\ b = 0 \\ c = 6 \\ d = 4