En primer lugar, identificamos los datos del problema. La variable aleatoria $X$ representa el desfase en minutos y sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$, donde la varianza es $\sigma^2 = 4$, lo que implica una desviación típica $\sigma = 2$. El tamaño de la muestra es $n = 10$.Calculamos la media muestral $\bar{x}$ a partir de los datos proporcionados:

Para un nivel de confianza del $97 \%$, el valor de $\alpha$ es $0.03$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que:

Consultando las tablas de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtenemos $z_{\alpha/2} = 2.17$.Aplicamos la fórmula del intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida:

Convertimos el error admisible a las mismas unidades que la media (minutos). Un error de $30$ segundos equivale a $E = 0.5$ minutos. Para un nivel de confianza del $95 \%$, el valor crítico es $z_{\alpha/2} = 1.96$.Utilizamos la fórmula del tamaño muestral derivada de la expresión del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$:

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza para garantizar que el error sea inferior al máximo permitido. Por tanto, se requiere un tamaño muestral mínimo de $n = 62$ observaciones.Si se aumenta el nivel de confianza, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumenta (ya que se requiere cubrir un área mayor bajo la curva normal). Como el tamaño muestral $n$ es directamente proporcional al cuadrado de $z_{\alpha/2}$, un aumento en la confianza conlleva necesariamente un aumento en el tamaño muestral requerido.