T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2018 · Extraordinaria · Titular

1B-b

Dos masas iguales de $50 \text{ kg}$ se sitúan en los puntos $A(0,0) \text{ m}$ y $B(6,0) \text{ m}$ .

b) Calcule: (i) El valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto

P(3,3) \text{ m}

; (ii) si situamos una tercera masa de

2 \text{ kg}

en el punto

P

, determine el valor de la fuerza gravitatoria que actúa sobre ella.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Vector intensidad de campoFuerza gravitatoriaSuperposición

b) (i) Intensidad del campo gravitatorio en P(3,3) m

Las dos masas $m = 50$ kg se encuentran en $A(0,0)$ m y $B(6,0)$ m. El punto $P(3,3)$ m es equidistante de ambas masas. Calculamos la distancia $r$ de cada masa a $P$ :

r = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ m}

La intensidad del campo gravitatorio creado por cada masa en $P$ tiene módulo:

g = \frac{G \cdot m}{r^2} = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 50}{(3\sqrt{2})^2} = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 50}{18}

g = \frac{3{,}335 \cdot 10^{-9}}{18} = 1{,}853 \cdot 10^{-10} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Ahora determinamos la dirección de cada campo. El vector que va de $A(0,0)$ a $P(3,3)$ es $\vec{u}_{AP} = (3,3)$ , con módulo $3\sqrt{2}$ , por lo que el vector unitario es:

\hat{u}_{AP} = \frac{(3,3)}{3\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

El vector que va de $B(6,0)$ a $P(3,3)$ es $\vec{u}_{BP} = (-3,3)$ , con módulo $3\sqrt{2}$ , por lo que el vector unitario es:

\hat{u}_{BP} = \frac{(-3,3)}{3\sqrt{2}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

El campo gravitatorio total en $P$ es la suma vectorial de los campos creados por $A$ y por $B$ :

\vec{g}_P = g \cdot \hat{u}_{AP} + g \cdot \hat{u}_{BP} = 1{,}853 \cdot 10^{-10} \left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right]

\vec{g}_P = 1{,}853 \cdot 10^{-10} \cdot \left(0, \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = 1{,}853 \cdot 10^{-10} \cdot \left(0, \sqrt{2}\right)

Las componentes horizontales se cancelan (por simetría) y las verticales se suman. El módulo del campo resultante es:

|\vec{g}_P| = 1{,}853 \cdot 10^{-10} \cdot \sqrt{2} = 1{,}853 \cdot 10^{-10} \cdot 1{,}414 \approx 2{,}62 \cdot 10^{-10} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

El campo resultante en $P$ está dirigido en la dirección $+j$ (hacia arriba, alejándose de las masas en la dirección perpendicular al eje $x$ ):

\vec{g}_P \approx 2{,}62 \cdot 10^{-10} \, \hat{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

b) (ii) Fuerza gravitatoria sobre una masa de 2 kg en P

La fuerza gravitatoria sobre una masa $m_0 = 2$ kg colocada en $P$ se obtiene multiplicando el campo por la masa:

\vec{F} = m_0 \cdot \vec{g}_P = 2 \cdot 2{,}62 \cdot 10^{-10} \, \hat{j} = 5{,}24 \cdot 10^{-10} \, \hat{j} \text{ N}

La fuerza gravitatoria resultante sobre la masa de $2$ kg en $P$ tiene un módulo de $5{,}24 \cdot 10^{-10}$ N y está dirigida en el sentido positivo del eje $y$ (perpendicular al segmento $AB$ y alejándose de él).