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T4: Óptica
Refracción
Problema
2021 · Ordinaria · Suplente
C.1-b
Examen
b) Un rayo de luz monocromático de frecuencia 5⋅1014 Hz5 \cdot 10^{14} \text{ Hz}, que se propaga por un medio de índice de refracción n1=1,7n_1 = 1,7, incide sobre otro medio de índice de refracción n2=1,3n_2 = 1,3 formando un ángulo de 25∘25^{\circ} con la normal a la superficie de separación entre ambos medios. i) Haga un esquema y calcule el ángulo de refracción. ii) Determine la longitud de onda del rayo en el segundo medio. iii) ¿Cuál es el ángulo de incidencia crítico a partir del cual este rayo se reflejaría completamente? Razone sus respuestas ayudándose de un esquema.

Dato: c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Ley de SnellReflexión totalÍndice de refracción
b)

Datos proporcionados:

f=5⋅1014 Hzf = 5 \cdot 10^{14} \text{ Hz}
n1=1,7n_1 = 1,7
n2=1,3n_2 = 1,3
θ1=25∘\theta_1 = 25^{\circ}
c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
i) Cálculo del ángulo de refracción.

Para calcular el ángulo de refracción, aplicamos la Ley de Snell, que establece la relación entre los ángulos de incidencia y refracción y los índices de refracción de los medios:

n1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2

Despejamos el seno del ángulo de refracción θ2\theta_2:

sin⁡θ2=n1sin⁡θ1n2\sin \theta_2 = \frac{n_1 \sin \theta_1}{n_2}

Sustituyendo los valores conocidos:

sin⁡θ2=1,7⋅sin⁡(25∘)1,3=1,7⋅0,42261,3≈0,5526\sin \theta_2 = \frac{1,7 \cdot \sin(25^{\circ})}{1,3} = \frac{1,7 \cdot 0,4226}{1,3} \approx 0,5526

Finalmente, el ángulo de refracción es:

θ2=arcsin⁡(0,5526)≈33,55∘\theta_2 = \arcsin(0,5526) \approx 33,55^{\circ}
ii) Determinación de la longitud de onda en el segundo medio.

La frecuencia de la luz (ff) es una propiedad de la fuente y no cambia al pasar de un medio a otro. La velocidad de la luz en un medio (vv) se relaciona con la velocidad de la luz en el vacío (cc) y el índice de refracción del medio (nn) mediante la expresión v=c/nv = c/n. La longitud de onda (λ\lambda) se calcula a partir de la velocidad y la frecuencia: λ=v/f\lambda = v/f.Combinando estas relaciones, la longitud de onda en el segundo medio se puede calcular como:

λ2=v2f=c/n2f=cn2f\lambda_2 = \frac{v_2}{f} = \frac{c / n_2}{f} = \frac{c}{n_2 f}

Sustituyendo los valores:

λ2=3⋅108 m⋅s−11,3⋅5⋅1014 Hz=3⋅1086,5⋅1014 m=0,4615⋅10−6 m\lambda_2 = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{1,3 \cdot 5 \cdot 10^{14} \text{ Hz}} = \frac{3 \cdot 10^8}{6,5 \cdot 10^{14}} \text{ m} = 0,4615 \cdot 10^{-6} \text{ m}

Expresado en nanómetros (1 nm=10−9 m1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}):

λ2≈461,5 nm\lambda_2 \approx 461,5 \text{ nm}
iii) Cálculo del ángulo de incidencia crítico.

La reflexión total interna ocurre cuando un rayo de luz pasa de un medio con mayor índice de refracción a otro con menor índice de refracción. En este caso, la luz incide desde el medio 1 (n1=1,7n_1 = 1,7) al medio 2 (n2=1,3n_2 = 1,3), por lo que n1>n2n_1 > n_2, haciendo posible la reflexión total interna.El ángulo crítico (θc\theta_c) es el ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es 90∘90^{\circ}, es decir, el rayo refractado se propaga a lo largo de la superficie de separación.Aplicamos la Ley de Snell para esta condición, donde θ2=90∘\theta_2 = 90^{\circ}:

n1sin⁡θc=n2sin⁡(90∘)n_1 \sin \theta_c = n_2 \sin(90^{\circ})

Dado que sin⁡(90∘)=1\sin(90^{\circ}) = 1, la expresión se simplifica a:

sin⁡θc=n2n1\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}

Sustituyendo los índices de refracción:

sin⁡θc=1,31,7≈0,7647\sin \theta_c = \frac{1,3}{1,7} \approx 0,7647

El ángulo crítico es:

θc=arcsin⁡(0,7647)≈49,88∘\theta_c = \arcsin(0,7647) \approx 49,88^{\circ}

Para que se produzca la reflexión total interna, el ángulo de incidencia debe ser mayor que este ángulo crítico.