T1: Interacción gravitatoria

Equilibrio gravitatorio

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

A1-a

a) Dos partículas de masas

m

4m

están separadas una distancia

d

. Determine razonadamente en qué punto se ha de colocar una tercera partícula de masa

m

para que se encuentre en equilibrio.

campo gravitatorioequilibrio

a) Para que una tercera partícula de masa

m_3 = m

se encuentre en equilibrio, la fuerza gravitatoria neta que actúa sobre ella debe ser cero. Suponemos que la partícula

m_3

se coloca entre las otras dos masas, ya que solo en esa posición las fuerzas gravitatorias ejercidas por

m_1

m_2

pueden anularse al tener direcciones opuestas.

Consideremos el siguiente sistema:- Partícula 1: masa $m_1 = m$ , situada en el origen ( $x=0$ ). - Partícula 2: masa $m_2 = 4m$ , situada en $x=d$ . - Partícula 3: masa $m_3 = m$ , situada en un punto $x$ entre $0$ y $d$ .La fuerza gravitatoria $\vec{F}_{13}$ ejercida por $m_1$ sobre $m_3$ es atractiva y apunta hacia $m_1$ (en la dirección $-x$ ). Su magnitud es:

F_{13} = G \frac{m_1 m_3}{x^2} = G \frac{m \cdot m}{x^2} = G \frac{m^2}{x^2}

La fuerza gravitatoria $\vec{F}_{23}$ ejercida por $m_2$ sobre $m_3$ es atractiva y apunta hacia $m_2$ (en la dirección $+x$ ). La distancia entre $m_2$ y $m_3$ es $(d-x)$ . Su magnitud es:

F_{23} = G \frac{m_2 m_3}{(d-x)^2} = G \frac{4m \cdot m}{(d-x)^2} = G \frac{4m^2}{(d-x)^2}

Para que la partícula $m_3$ esté en equilibrio, las magnitudes de ambas fuerzas deben ser iguales ( $F_{13} = F_{23}$ ), ya que tienen direcciones opuestas:

G \frac{m^2}{x^2} = G \frac{4m^2}{(d-x)^2}

Podemos simplificar la expresión eliminando la constante de gravitación universal $G$ y la masa al cuadrado $m^2$ :

\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(d-x)^2}

Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación (considerando solo las soluciones positivas, ya que $x$ y $d-x$ son distancias):

\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{4}{(d-x)^2}} \\ \frac{1}{x} = \frac{2}{d-x} \end{gathered}

Ahora, resolvemos para $x$ :

\begin{gathered} d-x = 2x \\ d = 3x \\ x = \frac{d}{3} \end{gathered}

La tercera partícula de masa $m$ debe colocarse a una distancia de $d/3$ de la partícula de masa $m$ (y, por lo tanto, a una distancia $d - d/3 = 2d/3$ de la partícula de masa $4m$ ) para que se encuentre en equilibrio.