T2: Interacción electromagnética

Electrostática

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

6-b

b) Considere dos cargas puntuales de

5 \cdot 10^{-6} \text{ C}

3 \cdot 10^{-6} \text{ C}

situadas en los puntos de coordenadas

(0,0) \text{ m}

(2,0) \text{ m}

, respectivamente. Determine, apoyándose de un esquema, el punto donde el campo eléctrico resultante sea nulo.

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$

Campo eléctrico nuloSuperposición de camposCargas puntuales

b) Para que el campo eléctrico resultante sea nulo, los campos eléctricos generados por cada carga deben tener la misma magnitud y direcciones opuestas. Dado que ambas cargas son positivas, sus campos eléctricos se dirigen radialmente hacia afuera. Por lo tanto, el punto donde el campo eléctrico total es nulo debe encontrarse en la línea que une ambas cargas y entre ellas. En esta región, los vectores campo eléctrico de ambas cargas apuntan en direcciones opuestas.

Denotemos las cargas como $q_1 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $q_2 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ . La carga $q_1$ está en el origen $(0,0) \text{ m}$ y $q_2$ en $(2,0) \text{ m}$ . Sea $P(x,0)$ el punto donde el campo eléctrico resultante es nulo. Como se ha explicado, este punto debe estar entre $q_1$ y $q_2$ , es decir, $0 < x < 2$ . En este punto, el campo eléctrico $E_1$ generado por $q_1$ apuntará hacia la derecha (dirección $+x$ ) y el campo eléctrico $E_2$ generado por $q_2$ apuntará hacia la izquierda (dirección $-x$ ). Para que el campo resultante sea nulo, sus magnitudes deben ser iguales:

|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2|

La magnitud del campo eléctrico generado por una carga puntual es $E = K \frac{|q|}{r^2}$ . Para el punto $P(x,0)$ :

E_1 = K \frac{q_1}{x^2}

E_2 = K \frac{q_2}{(2-x)^2}

Igualando las magnitudes:

K \frac{q_1}{x^2} = K \frac{q_2}{(2-x)^2}

Podemos cancelar la constante $K$ y sustituir los valores de las cargas:

\frac{5 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{x^2} = \frac{3 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{(2-x)^2}

Simplificando la expresión:

\frac{5}{x^2} = \frac{3}{(2-x)^2}

5(2-x)^2 = 3x^2

5(4 - 4x + x^2) = 3x^2

20 - 20x + 5x^2 = 3x^2

2x^2 - 20x + 20 = 0

x^2 - 10x + 10 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ :

x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}

x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 40}}{2}

x = \frac{10 \pm \sqrt{60}}{2}

x = \frac{10 \pm 2\sqrt{15}}{2}

x = 5 \pm \sqrt{15}

Calculamos los dos posibles valores para $x$ :

x_1 = 5 + \sqrt{15} \approx 5 + 3.87 = 8.87 \text{ m}

x_2 = 5 - \sqrt{15} \approx 5 - 3.87 = 1.13 \text{ m}

Como se estableció al principio, el punto donde el campo eléctrico es nulo debe estar entre las dos cargas, es decir, $0 < x < 2 \text{ m}$ . Por lo tanto, el valor válido es $x_2$ .El punto donde el campo eléctrico resultante es nulo es $(1.13, 0) \text{ m}$ .