T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio y Trabajo

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

1-b

b) Dos masas puntuales de

5 \text{ kg}

10 \text{ kg}

están situadas en los puntos

(0,0) \text{ m}

(1,0) \text{ m}

, respectivamente. i) Represente y determine el punto entre las dos masas donde el campo gravitatorio es cero. ii) Calcule el trabajo necesario para trasladar una masa de

4 \text{ kg}

desde el punto

(3,0) \text{ m}

hasta el punto

(-2,0) \text{ m}

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$

Campo gravitatorioTrabajo gravitatorioEnergía potencial

b) i) Representación y determinación del punto entre las dos masas donde el campo gravitatorio es cero.

Sean $m_1 = 5 \text{ kg}$ situada en el origen $(0,0)$ y $m_2 = 10 \text{ kg}$ situada en $(1,0)$ . El punto donde el campo gravitatorio total es cero debe estar en el eje x, entre las dos masas, ya que en esa región los campos gravitatorios creados por $m_1$ y $m_2$ tienen direcciones opuestas.Sea $x$ la coordenada del punto donde el campo gravitatorio es nulo. La distancia a $m_1$ es $r_1 = x$ y la distancia a $m_2$ es $r_2 = 1-x$ . En este punto, el campo gravitatorio neto $\vec{g}$ es cero, lo que implica que $\vec{g_1} + \vec{g_2} = \vec{0}$ . Dado que están en direcciones opuestas, sus módulos deben ser iguales:

|\vec{g_1}| = |\vec{g_2}|

Utilizando la fórmula del módulo del campo gravitatorio $g = G \frac{m}{r^2}$ :

G \frac{m_1}{r_1^2} = G \frac{m_2}{r_2^2}

Simplificando $G$ y sustituyendo las distancias y masas:

\frac{5}{x^2} = \frac{10}{(1-x)^2}

Dividimos ambos lados por 5:

\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(1-x)^2}

Reordenamos y tomamos la raíz cuadrada (considerando $x$ entre 0 y 1, por lo que $1-x$ es positivo):

\frac{(1-x)^2}{x^2} = 2 \implies \left(\frac{1-x}{x}\right)^2 = 2

\frac{1-x}{x} = \sqrt{2}

1-x = \sqrt{2}x

1 = x(1 + \sqrt{2})

x = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \text{ m}

Calculando el valor numérico:

x \approx \frac{1}{1 + 1.414} = \frac{1}{2.414} \approx 0.414 \text{ m}

El punto donde el campo gravitatorio es cero es $(0.414, 0) \text{ m}$ . Este punto se encuentra entre las dos masas, como se esperaba.

b) ii) Cálculo del trabajo necesario para trasladar una masa de

4 \text{ kg}

desde el punto

(3,0) \text{ m}

hasta el punto

(-2,0) \text{ m}

El trabajo necesario para trasladar una masa $m_3$ desde un punto A hasta un punto B es igual a la diferencia de energía potencial gravitatoria entre estos dos puntos, es decir, $W_{ext} = \Delta E_p = E_{pB} - E_{pA}$ . La energía potencial gravitatoria de la masa $m_3$ en un punto del campo creado por $m_1$ y $m_2$ es la suma de las energías potenciales individuales:

E_p = -G \frac{m_1 m_3}{r_1} - G \frac{m_2 m_3}{r_2}

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ , $m_1 = 5 \text{ kg}$ , $m_2 = 10 \text{ kg}$ , $m_3 = 4 \text{ kg}$ .Cálculo de la energía potencial en el punto A $(3,0) \text{ m}$ :Distancia a $m_1$ (en $(0,0)$ ): $r_{1A} = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3 \text{ m}$ .Distancia a $m_2$ (en $(1,0)$ ): $r_{2A} = \sqrt{(3-1)^2 + (0-0)^2} = 2 \text{ m}$ .

E_{pA} = -G m_3 \left(\frac{m_1}{r_{1A}} + \frac{m_2}{r_{2A}}\right)

E_{pA} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (4 \text{ kg}) \left(\frac{5 \text{ kg}}{3 \text{ m}} + \frac{10 \text{ kg}}{2 \text{ m}}\right)

E_{pA} = -(26,68 \cdot 10^{-11}) \left(\frac{5}{3} + 5\right) \text{ J}

E_{pA} = -(26,68 \cdot 10^{-11}) \left(\frac{5+15}{3}\right) \text{ J}

E_{pA} = -(26,68 \cdot 10^{-11}) \left(\frac{20}{3}\right) \text{ J}

E_{pA} = -177.86 \cdot 10^{-11} \text{ J}

Cálculo de la energía potencial en el punto B $(-2,0) \text{ m}$ :Distancia a $m_1$ (en $(0,0)$ ): $r_{1B} = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-0)^2} = 2 \text{ m}$ .Distancia a $m_2$ (en $(1,0)$ ): $r_{2B} = \sqrt{(-2-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-3)^2} = 3 \text{ m}$ .

E_{pB} = -G m_3 \left(\frac{m_1}{r_{1B}} + \frac{m_2}{r_{2B}}\right)

E_{pB} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (4 \text{ kg}) \left(\frac{5 \text{ kg}}{2 \text{ m}} + \frac{10 \text{ kg}}{3 \text{ m}}\right)

E_{pB} = -(26,68 \cdot 10^{-11}) \left(2.5 + \frac{10}{3}\right) \text{ J}

E_{pB} = -(26,68 \cdot 10^{-11}) \left(\frac{7.5+10}{3}\right) \text{ J}

E_{pB} = -(26,68 \cdot 10^{-11}) \left(\frac{17.5}{3}\right) \text{ J}

E_{pB} = -155.63 \cdot 10^{-11} \text{ J}

Finalmente, el trabajo necesario es:

W_{ext} = E_{pB} - E_{pA}

W_{ext} = (-155.63 \cdot 10^{-11} \text{ J}) - (-177.86 \cdot 10^{-11} \text{ J})

W_{ext} = (-155.63 + 177.86) \cdot 10^{-11} \text{ J}

W_{ext} = 22.23 \cdot 10^{-11} \text{ J}