T4: Funciones · Asíntotas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Asíntotas

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

Se sabe que la gráfica de la función $f$ definida por $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x - 1}$ (para $x \neq 1$ ) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(1, 1)$ y tiene pendiente $2$ . Calcula $a$ y $b$ .

Asíntota oblicuaFunciones racionalesCálculo de parámetros

Cálculo de $a$ y $b$ para la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x - 1}$

La asíntota oblicua tiene una pendiente $m = 2$ y pasa por el punto $(1, 1)$ . Sea la ecuación de la asíntota $y = mx + n$ .Sustituyendo la pendiente, obtenemos $y = 2x + n$ . Para encontrar $n$ , sustituimos el punto $(1, 1)$ en la ecuación:

1 = 2(1) + n \implies 1 = 2 + n \implies n = -1

Así, la ecuación de la asíntota oblicua es $y = 2x - 1$ .Para una función racional de la forma $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el grado de $P(x)$ es uno mayor que el grado de $Q(x)$ , la asíntota oblicua se obtiene realizando la división polinómica de $P(x)$ entre $Q(x)$ . La ecuación de la asíntota es la parte del cociente sin el resto.Dividimos $ax^2 + bx + 2$ por $x - 1$ :

\begin{array}{r} ax + (a+b) \\ x-1 \overline{|ax^2 + bx + 2} \\ \underline{-(ax^2 - ax)} \\ (a+b)x + 2 \\ \underline{-((a+b)x - (a+b))} \\ 2 + a + b \end{array}

De la división, obtenemos que $f(x) = ax + (a+b) + \frac{2+a+b}{x-1}$ . La ecuación de la asíntota oblicua es la parte del cociente:

y = ax + (a+b)

Ahora igualamos esta ecuación con la asíntota que hemos encontrado ( $y = 2x - 1$ ):

ax + (a+b) = 2x - 1

Comparando los coeficientes de $x$ y los términos independientes:

\begin{cases} a = 2 \\ a+b = -1 \end{cases}

Sustituyendo $a=2$ en la segunda ecuación:

2 + b = -1 \implies b = -1 - 2 \implies b = -3

Los valores de $a$ y $b$ son $a=2$ y $b=-3$ .