T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Intervalos de confianza para la media

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

La distancia en kilómetros recorrida al día por los vehículos de una empresa de coches de alquiler sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza $225$ . Se toma una muestra aleatoria simple de $36$ coches y se obtiene el intervalo de confianza $(153.65, 162.35)$ para la media poblacional.

a) Calcule la media muestral y el error máximo de estimación para ese intervalo de confianza.b) Si con el mismo nivel de confianza, aumentamos el tamaño muestral, ¿cómo se vería afectado el error?c) Con un nivel de confianza del

95\%

, ¿cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a

3

km?

Distribución NormalIntervalo de confianzaTamaño muestral

Resolución de problema de Inferencia Estadística

A partir de los datos del enunciado, identificamos los parámetros de la distribución normal de la población y los datos de la muestra:

\sigma^2 = 225 \implies \sigma = 15, \quad n = 36, \quad \text{I.C.} = (153.65, 162.35)

a) Calcule la media muestral y el error máximo de estimación para ese intervalo de confianza.

La media muestral $\bar{x}$ se encuentra en el punto medio del intervalo de confianza, ya que el intervalo es simétrico respecto a dicha media:

\bar{x} = \frac{153.65 + 162.35}{2} = \frac{316}{2} = 158 \text{ km}

El error máximo de estimación $E$ es la semiamplitud del intervalo, es decir, la diferencia entre el extremo superior y la media muestral:

E = 162.35 - 158 = 4.35 \text{ km}

b) Si con el mismo nivel de confianza, aumentamos el tamaño muestral, ¿cómo se vería afectado el error?

La relación entre el error de estimación $E$ y el tamaño de la muestra $n$ para un nivel de confianza determinado por el valor crítico $z_{\alpha/2}$ es:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Puesto que el tamaño de la muestra $n$ aparece en el denominador de la expresión, el error es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de $n$ . Por lo tanto, si aumentamos el tamaño muestral manteniendo constante el nivel de confianza, el error de estimación disminuirá.

c) Con un nivel de confianza del

95\%

, ¿cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a

3

km?

Para un nivel de confianza del $95\%$ , calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ :

1 - \alpha = 0.95 \implies P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96

Imponemos la condición de que el error sea inferior a $3$ km y despejamos $n$ :

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 3 \implies 1.96 \cdot \frac{15}{\sqrt{n}} < 3

\sqrt{n} > \frac{1.96 \cdot 15}{3} \implies \sqrt{n} > 9.8 \implies n > 9.8^2

n > 96.04

Como el tamaño muestral $n$ debe ser un número entero, el tamaño mínimo necesario es el primer entero que cumple la desigualdad:

n = 97