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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
D2-b
Examen

El X88226X2882226Ra\ce{^{226}_{88}Ra} tiene un período de semidesintegración de 16001600 años. Para una muestra con una masa inicial de 4⋅10−3 kg4 \cdot 10^{-3} \text{ kg} calcule:

b) i) el tiempo necesario para que la masa de la muestra se reduzca a 5⋅10−4 kg5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}; ii) la actividad de la muestra después de transcurrido ese tiempo y iii) el número de núcleos que se han desintegrado hasta ese instante.

Datos: m(X88226X2882226Ra)=226,025408 u;1 u=1,66⋅10−27 kgm(\ce{^{226}_{88}Ra}) = 226,025408 \text{ u}; 1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Desintegración radiactivaPeríodo de semidesintegraciónActividad radiactiva

Primero, convertimos las unidades dadas a unidades del Sistema Internacional y calculamos la constante de desintegración λ\lambda y la masa de un núcleo de X88226X2882226Ra\ce{^{226}_{88}Ra}.Período de semidesintegración T1/2T_{1/2}:

T1/2=1600 an˜os×365.25 dıˊas/an˜o×24 horas/dıˊa×3600 s/hora=5.049216⋅1010 sT_{1/2} = 1600 \text{ años} \times 365.25 \text{ días/año} \times 24 \text{ horas/día} \times 3600 \text{ s/hora} = 5.049216 \cdot 10^{10} \text{ s}

Constante de desintegración λ\lambda:

λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}
λ=0.6931475.049216⋅1010 s=1.37278⋅10−11 s−1\lambda = \frac{0.693147}{5.049216 \cdot 10^{10} \text{ s}} = 1.37278 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}

Masa de un núcleo de X88226X2882226Ra\ce{^{226}_{88}Ra}:

mnuˊcleo=226.025408 u×1.66⋅10−27 kg/u=3.75202⋅10−25 kg/nuˊcleom_{\text{núcleo}} = 226.025408 \text{ u} \times 1.66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 3.75202 \cdot 10^{-25} \text{ kg/núcleo}
b) i) el tiempo necesario para que la masa de la muestra se reduzca a 5⋅10−4 kg5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}

La ley de desintegración radiactiva para la masa es m=m0e−λtm = m_0 e^{-\lambda t}, donde m0m_0 es la masa inicial y mm es la masa en el tiempo tt. Despejamos tt:

m=m0e−λt  ⟹  mm0=e−λt  ⟹  ln⁡(mm0)=−λt  ⟹  t=−1λln⁡(mm0)=1λln⁡(m0m)m = m_0 e^{-\lambda t} \implies \frac{m}{m_0} = e^{-\lambda t} \implies \ln\left(\frac{m}{m_0}\right) = -\lambda t \implies t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{m}{m_0}\right) = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)

Sustituimos los valores:

t=11.37278⋅10−11 s−1ln⁡(4⋅10−3 kg5⋅10−4 kg)t = \frac{1}{1.37278 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}} \ln\left(\frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ kg}}{5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}}\right)
t=11.37278⋅10−11 s−1ln⁡(8)t = \frac{1}{1.37278 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}} \ln(8)
t=2.079441.37278⋅10−11 s−1=1.51478⋅1011 st = \frac{2.07944}{1.37278 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}} = 1.51478 \cdot 10^{11} \text{ s}

Convertimos el tiempo a años para una mejor interpretación:

t=1.51478⋅1011 s×1 an˜o31557600 s≈4800 an˜ost = 1.51478 \cdot 10^{11} \text{ s} \times \frac{1 \text{ año}}{31557600 \text{ s}} \approx 4800 \text{ años}
b) ii) la actividad de la muestra después de transcurrido ese tiempo

La actividad AA se define como A=λNA = \lambda N, donde NN es el número de núcleos radiactivos presentes en ese instante. Primero, calculamos el número de núcleos NN correspondiente a la masa m=5⋅10−4 kgm = 5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}.

N=mmnuˊcleoN = \frac{m}{m_{\text{núcleo}}}
N=5⋅10−4 kg3.75202⋅10−25 kg/nuˊcleo=1.33261⋅1021 nuˊcleosN = \frac{5 \cdot 10^{-4} \text{ kg}}{3.75202 \cdot 10^{-25} \text{ kg/núcleo}} = 1.33261 \cdot 10^{21} \text{ núcleos}

Ahora, calculamos la actividad:

A=λNA = \lambda N
A=(1.37278⋅10−11 s−1)×(1.33261⋅1021 nuˊcleos)=1.8298⋅1010 BqA = (1.37278 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}) \times (1.33261 \cdot 10^{21} \text{ núcleos}) = 1.8298 \cdot 10^{10} \text{ Bq}
b) iii) el número de núcleos que se han desintegrado hasta ese instante.

El número de núcleos desintegrados ΔN\Delta N es la diferencia entre el número inicial de núcleos (N0N_0) y el número de núcleos restantes (NN). Primero, calculamos N0N_0 a partir de la masa inicial m0=4⋅10−3 kgm_0 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ kg}.

N0=m0mnuˊcleoN_0 = \frac{m_0}{m_{\text{núcleo}}}
N0=4⋅10−3 kg3.75202⋅10−25 kg/nuˊcleo=1.06609⋅1022 nuˊcleosN_0 = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ kg}}{3.75202 \cdot 10^{-25} \text{ kg/núcleo}} = 1.06609 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

Ahora, calculamos el número de núcleos desintegrados:

ΔN=N0−N\Delta N = N_0 - N
ΔN=1.06609⋅1022−1.33261⋅1021\Delta N = 1.06609 \cdot 10^{22} - 1.33261 \cdot 10^{21}
ΔN=10.6609⋅1021−1.33261⋅1021\Delta N = 10.6609 \cdot 10^{21} - 1.33261 \cdot 10^{21}
ΔN=9.32829⋅1021 nuˊcleos\Delta N = 9.32829 \cdot 10^{21} \text{ núcleos}