T4: Funciones · Asíntotas y Monotonía — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Asíntotas y Monotonía

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

Considera la función $f$ definida por

f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ para } x \neq 1, -1

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

AsíntotasMonotoníaDerivadas

a) Estudio y cálculo de las asíntotas de la gráfica de

f

Primero, simplificamos la función $f(x)$ factorizando el numerador y el denominador:

f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}

La función simplificada es $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$ para $x \neq -1, 1$ . Para $x=-1$ , la función original es $f(-1) = \frac{(-1)^2 - 2(-1) - 3}{(-1)^2 - 1} = \frac{1+2-3}{1-1} = \frac{0}{0}$ , lo que indica una discontinuidad evitable (un agujero) en $x=-1$ . Evaluando la función simplificada en $x=-1$ , obtenemos $f(-1) = \frac{-1-3}{-1-1} = \frac{-4}{-2} = 2$ . Por lo tanto, hay un agujero en $(-1, 2)$ y no una asíntota vertical en $x=-1$ .

Asíntotas Verticales (A.V.):

Las asíntotas verticales se encuentran en los valores de $x$ donde el denominador de la función simplificada es cero y el numerador no lo es. En este caso, el denominador $x-1$ se anula para $x=1$ . El numerador $x-3$ no se anula para $x=1$ (es $1-3 = -2$ ). Por lo tanto, hay una A.V. en $x=1$ . Calculamos los límites laterales para confirmarlo:

\lim_{x \to 1^+} \frac{x-3}{x-1} = \frac{1-3}{1^+-1} = \frac{-2}{0^+} = -\infty

\lim_{x \to 1^-} \frac{x-3}{x-1} = \frac{1-3}{1^--1} = \frac{-2}{0^-} = +\infty

La única asíntota vertical es $x=1$ .

Asíntotas Horizontales (A.H.):

Las asíntotas horizontales se encuentran calculando el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$ . Podemos usar la función original o la simplificada:

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}

Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales:

y = \frac{1}{1} = 1

Por lo tanto, la asíntota horizontal es $y=1$ .

Asíntotas Oblicuas (A.O.):

Dado que existe una asíntota horizontal, no hay asíntotas oblicuas.

b) Determinación de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, necesitamos calcular la primera derivada de la función. Usaremos la función simplificada $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$ :

f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-3}{x-1} \right)

Aplicamos la regla del cociente, $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ , donde $u = x-3$ y $v = x-1$ . Así, $u' = 1$ y $v' = 1$ .

f'(x) = \frac{(1)(x-1) - (x-3)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x + 3}{(x-1)^2} = \frac{2}{(x-1)^2}

Ahora analizamos el signo de $f'(x)$ . El numerador, $2$ , es siempre positivo. El denominador, $(x-1)^2$ , es siempre positivo para $x \neq 1$ . Por lo tanto, $f'(x) > 0$ para todos los valores de $x$ en el dominio de la función ( $x \neq 1, -1$ ).Dado que $f'(x) > 0$ en todo su dominio, la función es estrictamente creciente en cada intervalo de su dominio.Los intervalos de crecimiento son $(-\infty, -1)$ , $(-1, 1)$ y $(1, +\infty)$ . No hay intervalos de decrecimiento.