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T4: Funciones
Estudio de funciones
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
2
Examen
EJERCICIO 2

Considera la función ff definida por

f(x)=x4−3x2+2(x+2)3, para x≠−2.f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x+2)^3}, \text{ para } x \neq -2.
a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.b) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.
AsíntotasRecta normal
a) Estudio y cálculo de las asíntotas de la gráfica de ff.

La función dada es f(x)=x4−3x2+2(x+2)3f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x+2)^3} para x≠−2x \neq -2.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales ocurren en los valores de xx donde el denominador es cero y el numerador no lo es.

(x+2)3=0  ⟹  x=−2(x+2)^3 = 0 \implies x = -2

Evaluamos el numerador en x=−2x = -2:

(−2)4−3(−2)2+2=16−3(4)+2=16−12+2=6≠0(-2)^4 - 3(-2)^2 + 2 = 16 - 3(4) + 2 = 16 - 12 + 2 = 6 \neq 0

Dado que el numerador es distinto de cero y el denominador es cero en x=−2x = -2, hay una asíntota vertical en x=−2x = -2.Para estudiar el comportamiento de la función alrededor de la asíntota vertical, calculamos los límites laterales:

lim⁡x→−2−x4−3x2+2(x+2)3=60−=−∞\lim_{x \to -2^-} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x+2)^3} = \frac{6}{0^-} = -\infty
lim⁡x→−2+x4−3x2+2(x+2)3=60+=+∞\lim_{x \to -2^+} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x+2)^3} = \frac{6}{0^+} = +\infty
Asíntotas horizontales

Calculamos el límite de la función cuando x→±∞x \to \pm\infty:

lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞x4−3x2+2(x+2)3=lim⁡x→±∞x4−3x2+2x3+6x2+12x+8\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x+2)^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}

Como el grado del numerador (4) es mayor que el grado del denominador (3), no existen asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas

Dado que el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, puede existir una asíntota oblicua de la forma y=mx+ny = mx + n.Calculamos mm:

m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x4−3x2+2x(x+2)3=lim⁡x→±∞x4−3x2+2x4+6x3+12x2+8xm = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x(x+2)^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 8x}
m=lim⁡x→±∞x4x4−3x2x4+2x4x4x4+6x3x4+12x2x4+8xx4=lim⁡x→±∞1−3x2+2x41+6x+12x2+8x3=11=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x^4}{x^4} - \frac{3x^2}{x^4} + \frac{2}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4} + \frac{6x^3}{x^4} + \frac{12x^2}{x^4} + \frac{8x}{x^4}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^4}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^2} + \frac{8}{x^3}} = \frac{1}{1} = 1

Calculamos nn:

n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=lim⁡x→±∞(x4−3x2+2(x+2)3−x)n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x+2)^3} - x \right)
n=lim⁡x→±∞(x4−3x2+2−x(x+2)3(x+2)3)n = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^4 - 3x^2 + 2 - x(x+2)^3}{(x+2)^3} \right)

Expandimos el término x(x+2)3x(x+2)^3:

x(x3+6x2+12x+8)=x4+6x3+12x2+8xx(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) = x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 8x

Sustituimos en la expresión de nn:

n=lim⁡x→±∞x4−3x2+2−(x4+6x3+12x2+8x)(x+2)3n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2 - (x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 8x)}{(x+2)^3}
n=lim⁡x→±∞x4−3x2+2−x4−6x3−12x2−8xx3+6x2+12x+8n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2 - x^4 - 6x^3 - 12x^2 - 8x}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}
n=lim⁡x→±∞−6x3−15x2−8x+2x3+6x2+12x+8n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-6x^3 - 15x^2 - 8x + 2}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}
n=lim⁡x→±∞−6x3x3−15x2x3−8xx3+2x3x3x3+6x2x3+12xx3+8x3=lim⁡x→±∞−6−15x−8x2+2x31+6x+12x2+8x3=−61=−6n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-\frac{6x^3}{x^3} - \frac{15x^2}{x^3} - \frac{8x}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{6x^2}{x^3} + \frac{12x}{x^3} + \frac{8}{x^3}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-6 - \frac{15}{x} - \frac{8}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^2} + \frac{8}{x^3}} = \frac{-6}{1} = -6

Por lo tanto, la asíntota oblicua es y=x−6y = x - 6.

b) Cálculo de la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.

Primero, encontramos el punto de la gráfica para x=0x = 0:

y0=f(0)=04−3(0)2+2(0+2)3=223=28=14y_0 = f(0) = \frac{0^4 - 3(0)^2 + 2}{(0+2)^3} = \frac{2}{2^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

El punto es (0,14)\left(0, \frac{1}{4}\right).Ahora, necesitamos calcular la derivada de f(x)f(x) para encontrar la pendiente de la recta tangente en x=0x=0. Usaremos la regla del cociente (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

u=x4−3x2+2  ⟹  u′=4x3−6xu = x^4 - 3x^2 + 2 \implies u' = 4x^3 - 6x
v=(x+2)3  ⟹  v′=3(x+2)2v = (x+2)^3 \implies v' = 3(x+2)^2
f′(x)=(4x3−6x)(x+2)3−(x4−3x2+2)3(x+2)2((x+2)3)2f'(x) = \frac{(4x^3 - 6x)(x+2)^3 - (x^4 - 3x^2 + 2)3(x+2)^2}{((x+2)^3)^2}

Simplificamos la expresión factorizando (x+2)2(x+2)^2 del numerador:

f′(x)=(x+2)2[(4x3−6x)(x+2)−3(x4−3x2+2)](x+2)6f'(x) = \frac{(x+2)^2 \left[ (4x^3 - 6x)(x+2) - 3(x^4 - 3x^2 + 2) \right]}{(x+2)^6}
f′(x)=(4x3−6x)(x+2)−3(x4−3x2+2)(x+2)4f'(x) = \frac{(4x^3 - 6x)(x+2) - 3(x^4 - 3x^2 + 2)}{(x+2)^4}

Expandimos el numerador:

(4x3−6x)(x+2)=4x4+8x3−6x2−12x(4x^3 - 6x)(x+2) = 4x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 12x
3(x4−3x2+2)=3x4−9x2+63(x^4 - 3x^2 + 2) = 3x^4 - 9x^2 + 6
f′(x)=(4x4+8x3−6x2−12x)−(3x4−9x2+6)(x+2)4f'(x) = \frac{(4x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 12x) - (3x^4 - 9x^2 + 6)}{(x+2)^4}
f′(x)=4x4+8x3−6x2−12x−3x4+9x2−6(x+2)4f'(x) = \frac{4x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 12x - 3x^4 + 9x^2 - 6}{(x+2)^4}
f′(x)=x4+8x3+3x2−12x−6(x+2)4f'(x) = \frac{x^4 + 8x^3 + 3x^2 - 12x - 6}{(x+2)^4}

Evaluamos f′(x)f'(x) en x=0x = 0 para obtener la pendiente de la recta tangente (mtm_t):

mt=f′(0)=04+8(0)3+3(0)2−12(0)−6(0+2)4=−624=−616=−38m_t = f'(0) = \frac{0^4 + 8(0)^3 + 3(0)^2 - 12(0) - 6}{(0+2)^4} = \frac{-6}{2^4} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}

La pendiente de la recta normal (mnm_n) es el negativo del inverso de la pendiente de la recta tangente:

mn=−1mt=−1(−38)=83m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{(-\frac{3}{8})} = \frac{8}{3}

Finalmente, usamos la ecuación punto-pendiente y−y0=mn(x−x0)y - y_0 = m_n(x - x_0) para encontrar la ecuación de la recta normal:

y−14=83(x−0)y - \frac{1}{4} = \frac{8}{3}(x - 0)
y=83x+14y = \frac{8}{3}x + \frac{1}{4}