T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio terrestre y planetario

Campo gravitatorio terrestre y planetario

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

A1-b

b) Conociendo la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte, calcule: i) El radio de Marte. ii) La masa de Marte.

Datos: $g_{\text{Marte}} = 3,7 \text{ m s}^{-2}$ ; $v_{\text{escape}} = 5 \cdot 10^3 \text{ m s}^{-1}$ ; $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$

GravedadMasa planetariaRadio planetario

b) i) El radio de Marte.

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ viene dada por la expresión:

g = \frac{GM}{R^2}

La velocidad de escape desde la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ viene dada por la expresión:

v_{\text{escape}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

De la expresión de la gravedad, podemos despejar $GM$ :

GM = gR^2

Sustituimos esta expresión en la fórmula de la velocidad de escape:

v_{\text{escape}} = \sqrt{\frac{2(gR^2)}{R}} = \sqrt{2gR}

Ahora, elevamos al cuadrado y despejamos el radio $R$ :

v_{\text{escape}}^2 = 2gR \implies R = \frac{v_{\text{escape}}^2}{2g}

Sustituimos los valores proporcionados:

R = \frac{(5 \cdot 10^3 \text{ m s}^{-1})^2}{2 \cdot (3,7 \text{ m s}^{-2})} = \frac{25 \cdot 10^6 \text{ m}^2 \text{ s}^{-2}}{7,4 \text{ m s}^{-2}} = 3,378 \cdot 10^6 \text{ m}

b) ii) La masa de Marte.

Una vez conocido el radio de Marte, podemos calcular su masa utilizando la expresión de la gravedad superficial:

g = \frac{GM}{R^2} \implies M = \frac{gR^2}{G}

Sustituimos los valores:

M = \frac{(3,7 \text{ m s}^{-2}) \cdot (3,378 \cdot 10^6 \text{ m})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}} = \frac{3,7 \cdot (1,1411 \cdot 10^{13})}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ kg}

M = \frac{4,222 \cdot 10^{13}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ kg} = 6,330 \cdot 10^{23} \text{ kg}