T5: Integrales · Áreas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Áreas

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

Considera las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = |x^2 - 1|$ y $g(x) = x + 5$ .

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.b) Determina el área del recinto anterior.

IntegralesÁreaValor absoluto+1

Resolución del ejercicio de funciones y áreas

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.

Primero definimos la función de valor absoluto a trozos para facilitar los cálculos:

f(x) = |x^2 - 1| = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le -1 \text{ o } x \ge 1 \\ 1 - x^2 & \text{si } -1 < x < 1 \end{cases}

Para hallar los puntos de corte, igualamos $f(x) = g(x)$ considerando los dos casos posibles del valor absoluto:Caso 1: $x^2 - 1 = x + 5$ . Reordenando obtenemos la ecuación de segundo grado $x^2 - x - 6 = 0$ . Aplicando la fórmula cuadrática:

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow x_1 = 3, \, x_2 = -2

Ambos valores pertenecen al dominio del caso ( $3 \ge 1$ y $-2 \le -1$ ), por lo que son puntos de corte.Caso 2: $1 - x^2 = x + 5$ . Obtenemos $x^2 + x + 4 = 0$ . El discriminante es $\Delta = 1^2 - 4(1)(4) = -15 < 0$ , por lo que no hay soluciones reales en este intervalo.Los puntos de corte son $(-2, g(-2)) = (-2, 3)$ y $(3, g(3)) = (3, 8)$ .Para el esbozo, la función $f(x)$ es una parábola $y = x^2 - 1$ cuya parte negativa ha sido reflejada respecto al eje $X$ . La función $g(x)$ es una recta de pendiente 1. El recinto está comprendido entre las abscisas $x = -2$ y $x = 3$ , quedando la recta por encima de la función de valor absoluto.

b) Determina el área del recinto anterior.

El área $A$ se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo $[-2, 3]$ . Debido a la definición de $f(x)$ , dividimos la integral en tres partes:

A = \int_{-2}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-2}^{-1} (x+5 - (x^2-1)) dx + \int_{-1}^{1} (x+5 - (1-x^2)) dx + \int_{1}^{3} (x+5 - (x^2-1)) dx

Calculamos cada integral por separado:Primera parte:

I_1 = \int_{-2}^{-1} (-x^2 + x + 6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-2}^{-1} = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6 \right) - \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) = -\frac{31}{6} + \frac{22}{3} = \frac{13}{6}

Segunda parte:

I_2 = \int_{-1}^{1} (x^2 + x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 4 \right) = \frac{2}{3} + 8 = \frac{26}{3}

Tercera parte:

I_3 = \int_{1}^{3} (-x^2 + x + 6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{1}^{3} = \left( -9 + \frac{9}{2} + 18 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 6 \right) = \frac{27}{2} - \frac{37}{6} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}

Sumamos los resultados para obtener el área total:

A = \frac{13}{6} + \frac{52}{6} + \frac{44}{6} = \frac{109}{6} \text{ unidades cuadradas}