T5: Probabilidad · Teorema de Bayes y Probabilidad Total — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Teorema de Bayes y Probabilidad Total

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

BLOQUE C

En un estudio realizado en una sucursal bancaria se ha determinado que el 70% de los créditos concedidos son hipotecarios y el 25% de los créditos superan los 200 000€. El 20% de los créditos son hipotecarios y de más de 200 000€. Se elige al azar un cliente al que le han concedido un crédito. Calcule la probabilidad de que:

a) El crédito no sea hipotecario y no supere los 200 000€.b) Si su crédito no es hipotecario, este no supere los 200 000€.c) Si su crédito supera los 200 000€, que este no sea hipotecario.

Probabilidad condicionalSucesos independientes

Definimos los siguientes sucesos: $H$ : El crédito es hipotecario. $S$ : El crédito supera los $200\,000 \text{ \,\text{euros}}$ .A partir de la información proporcionada, tenemos las siguientes probabilidades: $P(H) = 0.70$ $P(S) = 0.25$ $P(H \cap S) = 0.20$ También podemos calcular las probabilidades de los sucesos complementarios:

P(H') = 1 - P(H) = 1 - 0.70 = 0.30

P(S') = 1 - P(S) = 1 - 0.25 = 0.75

Podemos construir una tabla de contingencia con las probabilidades conjuntas:

P(H \cap S') = P(H) - P(H \cap S) = 0.70 - 0.20 = 0.50

P(H' \cap S) = P(S) - P(H \cap S) = 0.25 - 0.20 = 0.05

P(H' \cap S') = P(H') - P(H' \cap S) = 0.30 - 0.05 = 0.25

Verificación (suma de todas las particiones): $P(H \cap S) + P(H \cap S') + P(H' \cap S) + P(H' \cap S') = 0.20 + 0.50 + 0.05 + 0.25 = 1.00$

a) Calcule la probabilidad de que el crédito no sea hipotecario y no supere los

200\,000 \text{ \,\text{euros}}

Esto corresponde a la probabilidad $P(H' \cap S')$ .

P(H' \cap S') = 0.25

b) Si su crédito no es hipotecario, este no supere los

200\,000 \text{ \,\text{euros}}

Esto es una probabilidad condicionada, $P(S' | H')$ . Aplicamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(S' | H') = \frac{P(S' \cap H')}{P(H')} = \frac{0.25}{0.30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \approx 0.8333

c) Si su crédito supera los

200\,000 \text{ \,\text{euros}}

, que este no sea hipotecario.

Esto es otra probabilidad condicionada, $P(H' | S)$ . Aplicamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(H' | S) = \frac{P(H' \cap S)}{P(S)} = \frac{0.05}{0.25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0.20