T1: Interacción gravitatoria

Energía en el campo gravitatorio

Teoría

2022 · Extraordinaria · Titular

A1-a

a) Deduzca la expresión de la energía mecánica de un satélite de masa

m

que orbita a una altura

h

de la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

. Exprese el resultado en función de

m, M, R

h

energía mecánicasatéliteórbita

a) Deduzca la expresión de la energía mecánica de un satélite de masa

m

que orbita a una altura

h

de la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

. Exprese el resultado en función de

m, M, R

h

La energía mecánica de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria.

E_m = E_c + E_p

Consideremos que el satélite de masa $m$ orbita a una distancia $r$ del centro del planeta, donde $r = R + h$ . La fuerza de atracción gravitatoria entre el planeta y el satélite es la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en órbita.

F_g = F_c

G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

De esta igualdad, podemos obtener la expresión para la energía cinética del satélite:

m v^2 = G \frac{M m}{r}

E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} G \frac{M m}{r}

La energía potencial gravitatoria del satélite a una distancia $r$ del centro del planeta es:

E_p = -G \frac{M m}{r}

Ahora sumamos ambas energías para obtener la energía mecánica total:

E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} G \frac{M m}{r} - G \frac{M m}{r}

E_m = -\frac{1}{2} G \frac{M m}{r}

Finalmente, sustituimos $r = R + h$ en la expresión de la energía mecánica:

E_m = -\frac{1}{2} G \frac{M m}{(R + h)}