T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Probabilidad condicionada

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

El $47 \ \%$ de los jóvenes andaluces tienen una vida sedentaria. De ellos, el $72 \ \%$ presentan obesidad, mientras que solamente la presentan el $22 \ \%$ de los jóvenes no sedentarios. Se elige al azar un joven andaluz.

a) Calcule la probabilidad de que sea sedentario y no presente obesidad.b) Calcule la probabilidad de que presente obesidad.c) Calcule la probabilidad de que sea sedentario, sabiendo que presenta obesidad.

Sucesos independientesProbabilidad condicionadaEstadística descriptiva

Definimos los siguientes sucesos:S: El joven es sedentario.O: El joven presenta obesidad.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(S) = 0.47

P(S') = 1 - P(S) = 1 - 0.47 = 0.53

P(O|S) = 0.72

P(O'|S) = 1 - P(O|S) = 1 - 0.72 = 0.28

P(O|S') = 0.22

P(O'|S') = 1 - P(O|S') = 1 - 0.22 = 0.78

a) Calcule la probabilidad de que sea sedentario y no presente obesidad.

Se nos pide calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos S (sedentario) y O' (no presenta obesidad). Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(S \cap O') = P(O'|S) \cdot P(S)

Sustituyendo los valores conocidos:

P(S \cap O') = 0.28 \cdot 0.47 = 0.1316

b) Calcule la probabilidad de que presente obesidad.

Para calcular la probabilidad de que un joven presente obesidad, utilizamos el Teorema de la Probabilidad Total. La obesidad puede presentarse siendo sedentario o no sedentario:

P(O) = P(O|S) \cdot P(S) + P(O|S') \cdot P(S')

Sustituyendo los valores:

P(O) = (0.72 \cdot 0.47) + (0.22 \cdot 0.53)

P(O) = 0.3384 + 0.1166

P(O) = 0.455

c) Calcule la probabilidad de que sea sedentario, sabiendo que presenta obesidad.

Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(S|O)$ . Usamos el Teorema de Bayes:

P(S|O) = \frac{P(S \cap O)}{P(O)}

Primero, calculamos $P(S \cap O)$ :

P(S \cap O) = P(O|S) \cdot P(S) = 0.72 \cdot 0.47 = 0.3384

Ahora, sustituimos este valor y $P(O)$ (calculado en el apartado b) en la fórmula del Teorema de Bayes:

P(S|O) = \frac{0.3384}{0.455}

P(S|O) \approx 0.7437