Consideramos una semicircunferencia de radio $R = 6$ centrada en el origen $(0,0)$ en el semiplano superior de un sistema de ejes coordenados. La ecuación de la circunferencia es $x^2 + y^2 = 36$.Un rectángulo inscrito con su base sobre el eje $X$ (el diámetro) tendrá sus vértices superiores en la semicircunferencia. Si llamamos $(x, y)$ al vértice del primer cuadrante, la base del rectángulo será $2x$ y su altura será $y$.La función que queremos maximizar es el área del rectángulo:

Utilizamos la relación de la semicircunferencia para expresar $y$ en función de $x$:

Sustituimos en la función del área para obtener una función con una única variable $x$:

Para simplificar el cálculo de la derivada, podemos maximizar el cuadrado del área $f(x) = [A(x)]^2$, ya que el valor de $x$ que maximiza $A(x)$ es el mismo que maximiza su cuadrado (siempre que $A(x) > 0$):

Calculamos la derivada de $f(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos en el intervalo $0 < x < 6$:

Como $x$ debe ser mayor que cero, descartamos $x = 0$:

Comprobamos que es un máximo utilizando la segunda derivada:

Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en $x = 3\sqrt{2}$ existe un máximo relativo.Calculamos las longitudes de los lados del rectángulo:

Por tanto, los lados del rectángulo de área máxima miden $6\sqrt{2} \text{ cm}$ y $3\sqrt{2} \text{ cm}$.