T4: Funciones · Optimización — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Optimización

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = -x^2 + 12$ y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

OptimizaciónÁreasDerivadas

La función dada es $f(x) = -x^2 + 12$ . Esta es una parábola que se abre hacia abajo con su vértice en $(0, 12)$ . El recinto está limitado por esta gráfica y el eje de abscisas (eje X).Primero, encontramos los puntos de corte de la función con el eje de abscisas, donde $f(x) = 0$ :

-x^2 + 12 = 0 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm\sqrt{12} \implies x = \pm 2\sqrt{3}

Los puntos de corte son $(-2\sqrt{3}, 0)$ y $(2\sqrt{3}, 0)$ . La base del rectángulo estará sobre el eje X y, debido a la simetría de la parábola, el rectángulo será simétrico respecto al eje Y.Sea $x_0$ un valor positivo, tal que los vértices de la base del rectángulo son $(-x_0, 0)$ y $(x_0, 0)$ . La longitud de la base del rectángulo será $2x_0$ .La altura del rectángulo vendrá dada por el valor de la función en $x_0$ , es decir, $h = f(x_0) = -x_0^2 + 12$ . Para que la altura sea positiva, se debe cumplir que $-x_0^2 + 12 > 0$ , lo que implica $x_0^2 < 12$ , es decir, $0 < x_0 < 2\sqrt{3}$ .El área del rectángulo, $A(x_0)$ , es el producto de su base por su altura:

A(x_0) = (2x_0)(-x_0^2 + 12) = -2x_0^3 + 24x_0

Para encontrar el área máxima, derivamos la función $A(x_0)$ con respecto a $x_0$ y la igualamos a cero:

A'(x_0) = \frac{d}{dx_0}(-2x_0^3 + 24x_0) = -6x_0^2 + 24

-6x_0^2 + 24 = 0 \implies 6x_0^2 = 24 \implies x_0^2 = 4 \implies x_0 = \pm 2

Dado que $x_0$ debe ser positivo (por nuestra definición de los vértices de la base), tomamos $x_0 = 2$ . Este valor está dentro del rango permitido $0 < x_0 < 2\sqrt{3}$ (ya que $2\sqrt{3} \approx 3.46$ ).Para confirmar que este valor corresponde a un máximo, calculamos la segunda derivada:

A''(x_0) = \frac{d}{dx_0}(-6x_0^2 + 24) = -12x_0

Evaluamos la segunda derivada en $x_0 = 2$ :

A''(2) = -12(2) = -24

Como $A''(2) < 0$ , el área es máxima cuando $x_0 = 2$ .Ahora calculamos las dimensiones del rectángulo y sus vértices para $x_0 = 2$ :

a) Vértices del rectángulo:

La base del rectángulo tiene vértices en $(-x_0, 0)$ y $(x_0, 0)$ , que para $x_0 = 2$ son $(-2, 0)$ y $(2, 0)$ .La altura del rectángulo es $f(2) = -(2)^2 + 12 = -4 + 12 = 8$ .Los vértices superiores serán $(x_0, f(x_0))$ y $(-x_0, f(x_0))$ , que para $x_0 = 2$ son $(2, 8)$ y $(-2, 8)$ .Por lo tanto, los vértices del rectángulo de área máxima son: $V_1(-2, 0)$ , $V_2(2, 0)$ , $V_3(2, 8)$ y $V_4(-2, 8)$ .

b) Área máxima del rectángulo:

El área máxima se obtiene sustituyendo $x_0 = 2$ en la función del área $A(x_0)$ :

A(2) = -2(2)^3 + 24(2) = -2(8) + 48 = -16 + 48 = 32

El área máxima es $32$ unidades cuadradas.