T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Una fábrica produce procesadores que se clasifican en un primer control en tres tipos, $A, B$ y $C$ , según la frecuencia a la que pueden trabajar. El $60 \%$ de los procesadores fabricados se clasifican de tipo $A$ , el $30 \ \%$ de tipo $B$ y el resto de tipo $C$ . En un segundo control, se desechan el $20 \ \%$ de los procesadores de tipo $A$ , el $50 \ \%$ de los de tipo $B$ y el $60 \ \%$ de los de tipo $C$ , por problemas al trabajar a ciertas temperaturas. Si se elige un procesador de esta fábrica al azar, calcule la probabilidad de que:

a) Sea descartado y sea de tipo

A

o de tipo

B

.b) Sea descartado.c) Sea de tipo

C

sabiendo que no ha sido descartado.

Teorema de la Probabilidad TotalTeorema de BayesControl de calidad

Definición de eventos y probabilidades iniciales

Definimos los siguientes eventos:- $A$ : El procesador es de tipo $A$ .- $B$ : El procesador es de tipo $B$ .- $C$ : El procesador es de tipo $C$ .- $D$ : El procesador es descartado.- $\bar{D}$ : El procesador no es descartado.Las probabilidades dadas son:

P(A) = 0.60

P(B) = 0.30

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.60 - 0.30 = 0.10

Las probabilidades condicionadas de que un procesador sea descartado, según su tipo, son:

P(D|A) = 0.20

P(D|B) = 0.50

P(D|C) = 0.60

A partir de estas, podemos calcular las probabilidades condicionadas de que un procesador no sea descartado:

P(\bar{D}|A) = 1 - P(D|A) = 1 - 0.20 = 0.80

P(\bar{D}|B) = 1 - P(D|B) = 1 - 0.50 = 0.50

P(\bar{D}|C) = 1 - P(D|C) = 1 - 0.60 = 0.40

a) Sea descartado y sea de tipo

A

o de tipo

B

Se nos pide la probabilidad $P((D \cap A) \cup (D \cap B))$ . Dado que los eventos de ser de tipo $A$ y de tipo $B$ son mutuamente excluyentes, la intersección de $D$ con $A$ y la intersección de $D$ con $B$ también lo son. Por lo tanto, la probabilidad es la suma de las probabilidades individuales:

P((D \cap A) \cup (D \cap B)) = P(D \cap A) + P(D \cap B)

Usamos la regla de la multiplicación para calcular cada término:

P(D \cap A) = P(D|A) \cdot P(A) = 0.20 \cdot 0.60 = 0.12

P(D \cap B) = P(D|B) \cdot P(B) = 0.50 \cdot 0.30 = 0.15

Sumando ambas probabilidades:

P((D \cap A) \cup (D \cap B)) = 0.12 + 0.15 = 0.27

b) Sea descartado.

Se nos pide la probabilidad total de que un procesador sea descartado, $P(D)$ . Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

P(D) = P(D|A) \cdot P(A) + P(D|B) \cdot P(B) + P(D|C) \cdot P(C)

Sustituyendo los valores conocidos:

P(D) = (0.20 \cdot 0.60) + (0.50 \cdot 0.30) + (0.60 \cdot 0.10)

P(D) = 0.12 + 0.15 + 0.06

P(D) = 0.33

c) Sea de tipo

C

sabiendo que no ha sido descartado.

Se nos pide la probabilidad condicionada $P(C|\bar{D})$ . Usamos el teorema de Bayes:

P(C|\bar{D}) = \frac{P(\bar{D}|C) \cdot P(C)}{P(\bar{D})}

Primero, calculamos $P(\bar{D})$ , la probabilidad de que un procesador no sea descartado. Esto puede hacerse como el complemento de $P(D)$ o por el teorema de la probabilidad total:

P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.33 = 0.67

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula de Bayes:

P(C|\bar{D}) = \frac{0.40 \cdot 0.10}{0.67}

P(C|\bar{D}) = \frac{0.04}{0.67} \approx 0.0597