T1: Interacción gravitatoria

Energía y periodo orbital

Problema

2016 · Extraordinaria · Titular

3A-b

Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. El valor de la gravedad a dicha altura, g, es la tercera parte de su valor en la superficie de la Tierra, $g_0$ .

b) Determine el periodo de la órbita y la energía mecánica del satélite.

Datos: $g_0 = 9,8 \text{ m/s}^2$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$

Periodo orbitalEnergía mecánicaSatélites

Determinación del radio orbital

La gravedad varía con la distancia al centro de la Tierra según:

g = g_0 \dfrac{R_T^2}{r^2}

Como $g = \dfrac{g_0}{3}$ , igualando:

\frac{g_0}{3} = g_0 \frac{R_T^2}{r^2} \implies r^2 = 3R_T^2 \implies r = R_T\sqrt{3}

r = 6370 \times \sqrt{3} \approx 6370 \times 1{,}732 \approx 11{.}032 \text{ km} = 1{,}103 \times 10^7 \text{ m}

Apartado b) Periodo de la órbita

La fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular:

mg = m\frac{4\pi^2 r}{T^2}

Despejando el periodo $T$ :

T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}

Sustituyendo $g = \dfrac{g_0}{3} = \dfrac{9{,}8}{3} \approx 3{,}267 \text{ m/s}^2$ y $r = 1{,}103 \times 10^7 \text{ m}$ :

T = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}103 \times 10^7}{3{,}267}} = 2\pi\sqrt{3{,}376 \times 10^6}

T = 2\pi \times 1837{,}5 \approx 11{.}544 \text{ s} \approx 3{,}21 \text{ h}

Apartado b) Energía mecánica del satélite

Para una órbita circular, la energía cinética se obtiene de la condición de movimiento circular:

mg = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = g \cdot r

v^2 = 3{,}267 \times 1{,}103 \times 10^7 = 3{,}603 \times 10^7 \text{ m}^2/\text{s}^2

Energía cinética:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 400 \times 3{,}603 \times 10^7 = 7{,}206 \times 10^9 \text{ J}

Para la energía potencial gravitatoria, se utiliza $U = -\dfrac{GM_T m}{r}$ . Como $g = \dfrac{GM_T}{r^2}$ , se tiene $GM_T = g \cdot r^2$ , por lo que:

E_p = -\frac{GM_T m}{r} = -mgr

E_p = -400 \times 3{,}267 \times 1{,}103 \times 10^7 = -1{,}441 \times 10^{10} \text{ J}

La energía mecánica total es $E = E_c + E_p$ . Para una órbita circular se cumple siempre que $E = -E_c$ :

E = E_c + E_p = 7{,}206 \times 10^9 + (-1{,}441 \times 10^{10})

\boxed{E \approx -7{,}21 \times 10^9 \text{ J} = -7{,}21 \text{ GJ}}

El signo negativo indica que el satélite está ligado gravitacionalmente a la Tierra, como corresponde a cualquier órbita cerrada.