T5: Probabilidad · Propiedades de la probabilidad e independencia — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Propiedades de la probabilidad e independencia

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

El $75 \ \%$ del alumnado de un instituto utiliza la plataforma del centro como medio para comunicarse con sus profesores y el $40 \ \%$ lo hace a través del correo electrónico. Además, hay un $15 \ \%$ que no usa ninguno de estos medios. Se elige un estudiante de este instituto al azar.

a) Calcule la probabilidad de que utilice ambos medios de comunicación.b) Calcule la probabilidad de que utilice solamente uno de estos medios de comunicación.c) Calcule la probabilidad de que utilice la plataforma del centro sabiendo que no usa el correo electrónico como medio de comunicación.d) Razone si los sucesos "Utilizar la plataforma del centro" y "Utilizar el correo electrónico" son independientes.

Sucesos independientesUnión e intersección de sucesosDiagramas de Venn

Sean los sucesos: $P$ : El estudiante utiliza la plataforma del centro. $C$ : El estudiante utiliza el correo electrónico.Las probabilidades dadas son:

P(P) = 0.75

P(C) = 0.40

El $15 \ \%$ no usa ninguno de estos medios, lo que significa que:

P(P' \cap C') = 0.15

Aplicando las leyes de De Morgan, $P(P' \cap C') = P((P \cup C)')$ . Por lo tanto:

P(P \cup C) = 1 - P((P \cup C)') = 1 - 0.15 = 0.85

a) Calcule la probabilidad de que utilice ambos medios de comunicación.

Se nos pide calcular $P(P \cap C)$ . Usamos la fórmula de la unión de sucesos:

P(P \cup C) = P(P) + P(C) - P(P \cap C)

Sustituyendo los valores conocidos:

0.85 = 0.75 + 0.40 - P(P \cap C)

0.85 = 1.15 - P(P \cap C)

P(P \cap C) = 1.15 - 0.85 = 0.30

b) Calcule la probabilidad de que utilice solamente uno de estos medios de comunicación.

La probabilidad de que utilice solamente uno de los medios es $P((P \cap C') \cup (P' \cap C))$ . Esto es equivalente a $P(P \cup C) - P(P \cap C)$ .

P(\text{solamente uno}) = P(P \cup C) - P(P \cap C)

P(\text{solamente uno}) = 0.85 - 0.30 = 0.55

Alternativamente, podemos calcular la probabilidad de usar solo la plataforma y solo el correo electrónico, y luego sumarlas:

P(P \cap C') = P(P) - P(P \cap C) = 0.75 - 0.30 = 0.45

P(P' \cap C) = P(C) - P(P \cap C) = 0.40 - 0.30 = 0.10

P(\text{solamente uno}) = P(P \cap C') + P(P' \cap C) = 0.45 + 0.10 = 0.55

c) Calcule la probabilidad de que utilice la plataforma del centro sabiendo que no usa el correo electrónico como medio de comunicación.

Se nos pide calcular $P(P | C')$ . Usamos la fórmula de probabilidad condicional:

P(P | C') = \frac{P(P \cap C')}{P(C')}

Primero, calculamos $P(C')$ :

P(C') = 1 - P(C) = 1 - 0.40 = 0.60

Luego, calculamos $P(P \cap C')$ :

P(P \cap C') = P(P) - P(P \cap C) = 0.75 - 0.30 = 0.45

Ahora, sustituimos estos valores en la fórmula de probabilidad condicional:

P(P | C') = \frac{0.45}{0.60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75

d) Razone si los sucesos "Utilizar la plataforma del centro" y "Utilizar el correo electrónico" son independientes.

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .Para los sucesos $P$ (utilizar la plataforma) y $C$ (utilizar el correo electrónico), necesitamos comprobar si $P(P \cap C) = P(P) \cdot P(C)$ .Tenemos los siguientes valores:

P(P \cap C) = 0.30 \quad (calculado en el apartado a))

P(P) \cdot P(C) = 0.75 \cdot 0.40 = 0.30

Dado que $P(P \cap C) = 0.30$ y $P(P) \cdot P(C) = 0.30$ , se cumple la condición de independencia.Por lo tanto, los sucesos "Utilizar la plataforma del centro" y "Utilizar el correo electrónico" son independientes.