T5: Probabilidad · Teoremas de Probabilidad Total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Teoremas de Probabilidad Total y Bayes

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

Las bicicletas de alquiler de una ciudad se clasifican por su calidad: buena, media y mala. El 30 % de dichas bicicletas son gestionadas por una empresa $E_1$ y el resto por una empresa $E_2$ . De las bicicletas de la empresa $E_1$ , el 80 % son de buena calidad, el 5 % de calidad media y el resto de mala calidad. De las bicicletas de la empresa $E_2$ se sabe que el 60 % son de buena calidad, pero se desconocen los porcentajes de bicicletas de calidad media y calidad mala. Se elige al azar una bicicleta de alquiler de esa ciudad.

a) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad.b) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa

E_1

y de mala calidad.c) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del 19 %, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa

E_2

Teorema de BayesProbabilidad totalDiagrama de árbol

Resolución de Problema de Probabilidad

Definimos los sucesos según el enunciado: $E_1$ es la bicicleta gestionada por la empresa 1, $E_2$ por la empresa 2, $B$ es de buena calidad, $M$ de calidad media y $Ma$ de mala calidad.

a) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad.

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para el suceso $B$ :

P(B) = P(E_1) \cdot P(B|E_1) + P(E_2) \cdot P(B|E_2)

Con los datos proporcionados: $P(E_1) = 0.3$ , $P(E_2) = 0.7$ , $P(B|E_1) = 0.8$ y $P(B|E_2) = 0.6$ .

P(B) = (0.3 \cdot 0.8) + (0.7 \cdot 0.6) = 0.24 + 0.42 = 0.66

b) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa

E_1

y de mala calidad.

Buscamos la probabilidad de la intersección $P(E_1 \cap Ma)$ . Primero, calculamos la probabilidad de mala calidad condicionada a la empresa $E_1$ sabiendo que la suma de probabilidades de los tres niveles de calidad debe ser 1:

P(Ma|E_1) = 1 - P(B|E_1) - P(M|E_1) = 1 - 0.8 - 0.05 = 0.15

Calculamos la probabilidad conjunta:

P(E_1 \cap Ma) = P(E_1) \cdot P(Ma|E_1) = 0.3 \cdot 0.15 = 0.045

c) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del 19 %, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa

E_2

Conocemos la probabilidad total de calidad media $P(M) = 0.19$ . Planteamos la ecuación del Teorema de la Probabilidad Total para despejar $P(M|E_2)$ :

P(M) = P(E_1) \cdot P(M|E_1) + P(E_2) \cdot P(M|E_2)

Sustituyendo los valores conocidos ( $P(E_1) = 0.3$ , $P(E_2) = 0.7$ , $P(M|E_1) = 0.05$ y $P(M) = 0.19$ ):

0.19 = (0.3 \cdot 0.05) + (0.7 \cdot P(M|E_2))

0.19 = 0.015 + 0.7 \cdot P(M|E_2) \implies 0.175 = 0.7 \cdot P(M|E_2)

P(M|E_2) = \frac{0.175}{0.7} = 0.25