La función está compuesta por tramos polinómicos y una función racional. El dominio de la función es $\mathbb{R}$. En el tramo racional $\frac{x - 3}{x}$, el punto de discontinuidad $x = 0$ no pertenece a su dominio de definición $[4, \infty)$.Analizamos la continuidad en el punto de unión $x = 2$:

Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, $f$ es continua en $x = 2$.Analizamos la continuidad en el punto de unión $x = 4$:

Al ser los límites laterales distintos, existe una discontinuidad de salto finito en $x = 4$. El dominio de continuidad es $\mathbb{R} \setminus \{4\}$.Para la derivabilidad, obtenemos la derivada en los tramos abiertos:

En $x = 2$: $f'(2^-) = -1$ y $f'(2^+) = -2(2) + 6 = 2$. Al ser distintas, la función no es derivable en $x = 2$. En $x = 4$ no es derivable por no ser continua. El dominio de derivabilidad es $\mathbb{R} \setminus \{2, 4\}$.

Estudiamos el signo de la derivada $f'(x)$ en cada tramo:En $(-\infty, 2)$: $f'(x) = -1 < 0$, por lo que la función es decreciente.En $(2, 4)$: $f'(x) = -2x + 6$. La derivada se anula en $x = 3$. Para $x \in (2, 3)$, $f'(x) > 0$ (creciente). Para $x \in (3, 4)$, $f'(x) < 0$ (decreciente).En $(4, \infty)$: $f'(x) = \frac{3}{x^2} > 0$, por lo que la función es creciente.Resumen: Decreciente en $(-\infty, 2) \cup (3, 4)$ y creciente en $(2, 3) \cup (4, \infty)$.

En el intervalo $[2, 3]$, la función está definida como $f(x) = -x^2 + 6x - 8$. Calculamos la integral definida:

Aplicamos la regla de Barrow evaluando en los límites de integración: