T5: Probabilidad · Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Teorema de Bayes

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Del total de personas vacunadas en un país para prevenir una enfermedad, el $48\%$ recibió la vacuna $A$ , el $35\%$ la vacuna $B$ y el resto la vacuna $C$ .La efectividad de la vacuna $A$ se sitúa en el $70\%$ , la de $B$ en el $95\%$ y la de $C$ en el $94\%$ . Elegida al azar una persona vacunada,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con

A

y no le sea efectiva?b) ¿Qué probabilidad hay de que la vacuna le sea efectiva?c) Sabiendo que la vacuna no le ha sido efectiva, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con

C

Probabilidad totalDiagrama de árbolVacunas

Definimos los siguientes sucesos: $V_A$ : La persona recibió la vacuna A. $V_B$ : La persona recibió la vacuna B. $V_C$ : La persona recibió la vacuna C. $E$ : La vacuna es efectiva. $E^c$ : La vacuna no es efectiva (suceso contrario a $E$ ). Las probabilidades iniciales son:

P(V_A) = 0.48

P(V_B) = 0.35

La probabilidad de haber recibido la vacuna $C$ es el resto hasta el $100\%$ :

P(V_C) = 1 - P(V_A) - P(V_B) = 1 - 0.48 - 0.35 = 0.17

Las probabilidades de efectividad condicionadas por el tipo de vacuna son:

P(E | V_A) = 0.70

P(E | V_B) = 0.95

P(E | V_C) = 0.94

A partir de estas, obtenemos las probabilidades de no efectividad:

P(E^c | V_A) = 1 - P(E | V_A) = 1 - 0.70 = 0.30

P(E^c | V_B) = 1 - P(E | V_B) = 1 - 0.95 = 0.05

P(E^c | V_C) = 1 - P(E | V_C) = 1 - 0.94 = 0.06

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con

A

y no le sea efectiva?

Se pide la probabilidad de la intersección $P(V_A \cap E^c)$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(V_A \cap E^c) = P(E^c | V_A) \cdot P(V_A)

P(V_A \cap E^c) = 0.30 \cdot 0.48 = 0.144

b) ¿Qué probabilidad hay de que la vacuna le sea efectiva?

Para calcular $P(E)$ , aplicamos el teorema de la probabilidad total:

P(E) = P(E | V_A)P(V_A) + P(E | V_B)P(V_B) + P(E | V_C)P(V_C)

P(E) = (0.70)(0.48) + (0.95)(0.35) + (0.94)(0.17)

P(E) = 0.336 + 0.3325 + 0.1598

P(E) = 0.8283

c) Sabiendo que la vacuna no le ha sido efectiva, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con

C

Se pide la probabilidad condicionada $P(V_C | E^c)$ . Primero calculamos la probabilidad de que la vacuna no sea efectiva, $P(E^c)$ , utilizando el suceso contrario a $E$ :

P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - 0.8283 = 0.1717

Ahora aplicamos el teorema de Bayes:

P(V_C | E^c) = \frac{P(E^c | V_C)P(V_C)}{P(E^c)}

P(V_C | E^c) = \frac{(0.06)(0.17)}{0.1717}

P(V_C | E^c) = \frac{0.0102}{0.1717} \approx 0.0594