T6: Teoría de muestras · Inferencia sobre la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Inferencia sobre la media

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación típica $4$ .

a) ¿Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño

12

de la variable aleatoria

X

?b) Para estimar la media poblacional de la variable

X

, se toma una muestra aleatoria de tamaño

12

, obteniéndose los siguientes resultados:

11.8 \quad 10 \quad 9.8 \quad 12 \quad 9.7 \quad 10.8 \quad 9.6 \quad 11.3 \quad 10.4 \quad 12.2 \quad 9.1 \quad 10.5

Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de confianza al

97 \ \%

para estimar la media poblacional.c) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de confianza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que

1.2

Distribución NormalIntervalo de confianzaMedia muestral+1

Datos iniciales:

\sigma = 4

a) La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, también conocida como error estándar de la media, se calcula utilizando la fórmula:

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituyendo los valores dados ( $\sigma = 4$ y $n = 12$ ):

\sigma_{\bar{X}} = \frac{4}{\sqrt{12}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547

La desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño $12$ es aproximadamente $1.1547$ .

b) Para determinar un intervalo de confianza al

97 \ \%

para la media poblacional, primero necesitamos calcular la media muestral (

\bar{x}

) de los datos proporcionados y el valor crítico

z_{\alpha/2}

Datos de la muestra: $11.8, 10, 9.8, 12, 9.7, 10.8, 9.6, 11.3, 10.4, 12.2, 9.1, 10.5$ Tamaño de la muestra $n = 12$ .Cálculo de la media muestral ( $\bar{x}$ ):

\bar{x} = \frac{11.8 + 10 + 9.8 + 12 + 9.7 + 10.8 + 9.6 + 11.3 + 10.4 + 12.2 + 9.1 + 10.5}{12} = \frac{127.2}{12} = 10.6

Para un nivel de confianza del $97 \ \%$ , tenemos $1 - \alpha = 0.97$ , lo que implica $\alpha = 0.03$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.015$ .Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ .Consultando la tabla de la distribución normal estándar o usando una calculadora, obtenemos:

z_{0.015} \approx 2.17

La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional cuando la desviación típica poblacional ( $\sigma$ ) es conocida es:

\text{IC} = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = 10.6 \pm 2.17 \cdot \frac{4}{\sqrt{12}}

\text{IC} = 10.6 \pm 2.17 \cdot \frac{4}{3.4641}

\text{IC} = 10.6 \pm 2.17 \cdot 1.1547

\text{IC} = 10.6 \pm 2.5057

Calculando los límites del intervalo:

Límite \ inferior = 10.6 - 2.5057 = 8.0943

Límite \ superior = 10.6 + 2.5057 = 13.1057

El intervalo de confianza al $97 \ \%$ para la media poblacional es $(8.0943, 13.1057)$ .

c) Para calcular el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que

1.2

con el mismo nivel de confianza del

97 \ \%

, utilizamos la fórmula del error máximo admisible (

E

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Donde $E = 1.2$ , $z_{\alpha/2} = 2.17$ y $\sigma = 4$ . Despejamos $n$ :

1.2 \ge 2.17 \cdot \frac{4}{\sqrt{n}}

\sqrt{n} \ge \frac{2.17 \cdot 4}{1.2}

\sqrt{n} \ge \frac{8.68}{1.2}

\sqrt{n} \ge 7.2333

n \ge (7.2333)^2

n \ge 52.32

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos al siguiente entero superior para asegurar que el error sea menor que $1.2$ .El tamaño mínimo que debe tener la muestra es $53$ .