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T3: Geometría
Geometría métrica
Problema
2024 · Ordinaria · Suplente
8
Examen

Considera los puntos A(1,1,2)A(1, 1, 2), B(1,0,1)B(1, 0, 1) y C(1,−1,2)C(1, -1, 2).

a) Determina el área del triángulo de vértices A,BA, B y CC.b) Calcula DD para que los puntos A,B,CA, B, C y DD sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.
Área de un triánguloParalelogramoProducto vectorial
Resolución de ejercicio de geometría en el espacio
a) Determina el área del triángulo de vértices A,BA, B y CC.

Para hallar el área del triángulo definido por los puntos A(1,1,2)A(1, 1, 2), B(1,0,1)B(1, 0, 1) y C(1,−1,2)C(1, -1, 2), primero calculamos dos vectores directores con origen en el mismo vértice, por ejemplo AA:

AB⃗=B−A=(1−1,0−1,1−2)=(0,−1,−1)\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 2) = (0, -1, -1)
AC⃗=C−A=(1−1,−1−1,2−2)=(0,−2,0)\vec{AC} = C - A = (1 - 1, -1 - 1, 2 - 2) = (0, -2, 0)

El área del triángulo es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de estos dos vectores:

Aˊrea=12∣AB⃗×AC⃗∣\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|

Calculamos el producto vectorial mediante el determinante de la matriz simbólica:

AB⃗×AC⃗=∣ijk0−1−10−20∣=i(0−2)−j(0−0)+k(0−0)=(−2,0,0)\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 2) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 0) = (-2, 0, 0)

Calculamos el módulo de dicho vector y el área resultante:

∣AB⃗×AC⃗∣=(−2)2+02+02=2|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 0^2} = 2
Aˊrea=12⋅2=1 u2\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \text{ u}^2
b) Calcula DD para que los puntos A,B,CA, B, C y DD sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

Si los vértices A,B,CA, B, C y DD son consecutivos, se debe cumplir la condición de paralelismo entre los vectores de los lados opuestos, es decir, AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}.Sea D(x,y,z)D(x, y, z) el punto buscado. Planteamos la igualdad vectorial:

AB⃗=(0,−1,−1)\vec{AB} = (0, -1, -1)
DC⃗=C−D=(1−x,−1−y,2−z)\vec{DC} = C - D = (1 - x, -1 - y, 2 - z)

Igualamos componente a componente:

1−x=0  ⟹  x=11 - x = 0 \implies x = 1
−1−y=−1  ⟹  y=0-1 - y = -1 \implies y = 0
2−z=−1  ⟹  z=32 - z = -1 \implies z = 3

Por lo tanto, el punto DD que completa el paralelogramo es D(1,0,3)D(1, 0, 3).