AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Potencial y campo gravitatorio
Problema
2019 · Extraordinaria · Reserva
1A-b
Examen

Se coloca una masa de 3 kg3 \text{ kg} en el punto (3,0) m(3,0) \text{ m} y otra masa de 5 kg5 \text{ kg} en el punto (0,1) m(0,1) \text{ m}.

b) i) Calcule el campo gravitatorio en el origen de coordenadas. ii) Calcule el trabajo necesario para llevar la masa de 3 kg3 \text{ kg} desde donde se encontraba inicialmente hasta el punto (−3,0) m(-3,0) \text{ m}.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}.

Campo gravitatorioTrabajo
b) i) Cálculo del campo gravitatorio en el origen de coordenadas.

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} en un punto debido a una masa puntual MM se define como la fuerza gravitatoria por unidad de masa que experimentaría una masa de prueba en ese punto. Su dirección apunta siempre hacia la masa que crea el campo. La expresión vectorial es:

g⃗(r⃗)=−GMr⃗−r⃗M∣r⃗−r⃗M∣3\vec{g}(\vec{r}) = -G M \frac{\vec{r} - \vec{r}_M}{|\vec{r} - \vec{r}_M|^3}

donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa que crea el campo, r⃗\vec{r} es el vector de posición del punto donde se calcula el campo y r⃗M\vec{r}_M es el vector de posición de la masa MM.Para la masa m1=3 kgm_1 = 3 \text{ kg} en (3,0) m(3,0) \text{ m}:

r⃗=(0,0) m,r⃗M1=(3,0) m\vec{r} = (0,0) \text{ m}, \quad \vec{r}_{M1} = (3,0) \text{ m}
r⃗−r⃗M1=(0−3)i^+(0−0)j^=−3i^ m\vec{r} - \vec{r}_{M1} = (0-3)\hat{i} + (0-0)\hat{j} = -3\hat{i} \text{ m}
∣r⃗−r⃗M1∣=3 m|\vec{r} - \vec{r}_{M1}| = 3 \text{ m}
g⃗1=−Gm1−3i^33=Gm19i^=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)3 kg9 m2i^\vec{g}_1 = -G m_1 \frac{-3\hat{i}}{3^3} = G \frac{m_1}{9} \hat{i} = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{3 \text{ kg}}{9 \text{ m}^2} \hat{i}
g⃗1=(6,67⋅10−11⋅13)i^ N/kg=2,22⋅10−11i^ N/kg\vec{g}_1 = (6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1}{3}) \hat{i} \text{ N/kg} = 2,22 \cdot 10^{-11} \hat{i} \text{ N/kg}

Para la masa m2=5 kgm_2 = 5 \text{ kg} en (0,1) m(0,1) \text{ m}:

r⃗=(0,0) m,r⃗M2=(0,1) m\vec{r} = (0,0) \text{ m}, \quad \vec{r}_{M2} = (0,1) \text{ m}
r⃗−r⃗M2=(0−0)i^+(0−1)j^=−j^ m\vec{r} - \vec{r}_{M2} = (0-0)\hat{i} + (0-1)\hat{j} = -\hat{j} \text{ m}
∣r⃗−r⃗M2∣=1 m|\vec{r} - \vec{r}_{M2}| = 1 \text{ m}
g⃗2=−Gm2−j^13=Gm2j^=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(5 kg)j^\vec{g}_2 = -G m_2 \frac{-\hat{j}}{1^3} = G m_2 \hat{j} = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (5 \text{ kg}) \hat{j}
g⃗2=33,35⋅10−11j^ N/kg=3,34⋅10−10j^ N/kg\vec{g}_2 = 33,35 \cdot 10^{-11} \hat{j} \text{ N/kg} = 3,34 \cdot 10^{-10} \hat{j} \text{ N/kg}

El campo gravitatorio total en el origen es la suma vectorial de los campos individuales:

g⃗total=g⃗1+g⃗2=(2,22⋅10−11i^+3,34⋅10−10j^) N/kg\vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (2,22 \cdot 10^{-11} \hat{i} + 3,34 \cdot 10^{-10} \hat{j}) \text{ N/kg}
b) ii) Cálculo del trabajo necesario para llevar la masa de 3 kg3 \text{ kg} desde (3,0) m(3,0) \text{ m} hasta (−3,0) m(-3,0) \text{ m}.

El trabajo realizado por una fuerza externa para trasladar una masa mm desde un punto A hasta un punto B en un campo gravitatorio creado por otras masas es igual al cambio en la energía potencial gravitatoria de la masa, es decir, Wext=ΔU=UB−UA=m(VB−VA)W_{ext} = \Delta U = U_B - U_A = m(V_B - V_A). Aquí, la masa que se mueve es m1=3 kgm_1 = 3 \text{ kg}, y el campo (y, por lo tanto, el potencial) es generado por la masa m2=5 kgm_2 = 5 \text{ kg}.El potencial gravitatorio VV a una distancia rr de una masa puntual MM es:

V=−GMrV = -G \frac{M}{r}

Calculamos el potencial en la posición inicial A=(3,0) mA=(3,0) \text{ m} debido a la masa m2=(0,1) mm_2=(0,1) \text{ m}:

rA=(3−0)2+(0−1)2=32+(−1)2=9+1=10 mr_A = \sqrt{(3-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \text{ m}
VA=−Gm2rA=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)5 kg10 mV_A = -G \frac{m_2}{r_A} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{5 \text{ kg}}{\sqrt{10} \text{ m}}
VA≈−(6,67⋅10−11)53,162 J/kg≈−1,05⋅10−10 J/kgV_A \approx -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{5}{3,162} \text{ J/kg} \approx -1,05 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}

Ahora calculamos el potencial en la posición final B=(−3,0) mB=(-3,0) \text{ m} debido a la masa m2=(0,1) mm_2=(0,1) \text{ m}:

rB=(−3−0)2+(0−1)2=(−3)2+(−1)2=9+1=10 mr_B = \sqrt{(-3-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \text{ m}
VB=−Gm2rB=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)5 kg10 mV_B = -G \frac{m_2}{r_B} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{5 \text{ kg}}{\sqrt{10} \text{ m}}
VB≈−1,05⋅10−10 J/kgV_B \approx -1,05 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}

Como rA=rBr_A = r_B, entonces VA=VBV_A = V_B.El trabajo necesario (realizado por un agente externo) es:

Wext=m1(VB−VA)=3 kg⋅(−1,05⋅10−10 J/kg−(−1,05⋅10−10 J/kg))W_{ext} = m_1 (V_B - V_A) = 3 \text{ kg} \cdot (-1,05 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg} - (-1,05 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}))
Wext=3 kg⋅(0)=0 JW_{ext} = 3 \text{ kg} \cdot (0) = 0 \text{ J}