T1: Interacción gravitatoria

Dinámica y energía

Problema

2019 · Ordinaria · Reserva

1A-b

Por un plano inclinado $30^{\circ}$ respecto a la horizontal asciende, con velocidad constante, un bloque de $100 \text{ kg}$ por acción de una fuerza paralela a dicho plano. Se sabe que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es $0,2$ .

i) Determine el aumento de energía potencial del bloque en un desplazamiento de

20 \text{ m}

.ii) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y calcule el trabajo realizado por la fuerza paralela en ese desplazamiento.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

plano inclinadotrabajoenergía potencial+1

i) Determine el aumento de energía potencial del bloque en un desplazamiento de

20 \text{ m}

Para calcular el aumento de energía potencial, primero necesitamos determinar la altura vertical que el bloque asciende. Dado que el desplazamiento es a lo largo del plano inclinado ( $d = 20 \text{ m}$ ) y el ángulo de inclinación es $\alpha = 30^\circ$ , la altura $h$ se calcula como:

h = d \sin(\alpha)

h = 20 \text{ m} \cdot \sin(30^\circ) = 20 \text{ m} \cdot 0.5 = 10 \text{ m}

Ahora, el aumento de energía potencial ( $\Delta E_p$ ) se calcula con la fórmula:

\Delta E_p = mgh

\Delta E_p = (100 \text{ kg}) \cdot (9.8 \text{ m s}^{-2}) \cdot (10 \text{ m})

\Delta E_p = 9800 \text{ J}

ii) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y calcule el trabajo realizado por la fuerza paralela en ese desplazamiento.

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son el peso ( $P$ ), la fuerza normal ( $N$ ), la fuerza de rozamiento ( $F_r$ ) y la fuerza paralela ( $F$ ) que lo empuja hacia arriba.

Para calcular el trabajo realizado por la fuerza paralela, primero debemos determinar su magnitud. Como el bloque asciende con velocidad constante, la aceleración es nula, lo que implica que la fuerza neta sobre el bloque es cero. Descomponemos el peso en sus componentes paralelas y perpendiculares al plano inclinado.

P_x = P \sin(\alpha) = mg \sin(\alpha)

P_y = P \cos(\alpha) = mg \cos(\alpha)

Equilibrio en el eje perpendicular al plano (donde la aceleración es cero):

\sum F_y = 0 \Rightarrow N - P_y = 0 \Rightarrow N = mg \cos(\alpha)

N = (100 \text{ kg}) \cdot (9.8 \text{ m s}^{-2}) \cdot \cos(30^\circ)

N = 100 \cdot 9.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 848.7 \text{ N}

La fuerza de rozamiento se calcula como:

F_r = \mu_c N

F_r = 0.2 \cdot 848.7 \text{ N} \approx 169.74 \text{ N}

Equilibrio en el eje paralelo al plano (donde la aceleración es cero):

\sum F_x = 0 \Rightarrow F - P_x - F_r = 0 \Rightarrow F = P_x + F_r

F = mg \sin(\alpha) + \mu_c mg \cos(\alpha)

F = (100 \text{ kg}) \cdot (9.8 \text{ m s}^{-2}) \cdot \sin(30^\circ) + 169.74 \text{ N}

F = (100 \cdot 9.8 \cdot 0.5) \text{ N} + 169.74 \text{ N}

F = 490 \text{ N} + 169.74 \text{ N} = 659.74 \text{ N}

El trabajo realizado por la fuerza paralela ( $W_F$ ) en un desplazamiento $d = 20 \text{ m}$ es:

W_F = F \cdot d \cdot \cos(\theta)

Como la fuerza $F$ es paralela al desplazamiento $d$ , el ángulo $\theta$ entre ellos es $0^\circ$ , y $\cos(0^\circ) = 1$ .

W_F = (659.74 \text{ N}) \cdot (20 \text{ m})

W_F = 13194.8 \text{ J}