T5: Probabilidad · Probabilidad total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Probabilidad total y Bayes

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

El porcentaje de conductores que consumen alcohol durante la madrugada del sábado es del 5%. La policía realiza controles de alcoholemia mediante un test del que se sabe que da positivo en un 96% si la persona ha bebido alcohol y en un 10% si la persona no ha bebido alcohol.Elegido al azar un conductor en la madrugada del sábado y realizado este test de alcoholemia, halle la probabilidad de que:

a) Si el test da positivo, el conductor haya consumido alcohol.b) El test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol.c) Si el test ha dado negativo, el conductor no haya consumido alcohol.

Teorema de BayesProbabilidad TotalArbol de probabilidad

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El conductor ha consumido alcohol. $\bar{A}$ : El conductor no ha consumido alcohol. $P$ : El test de alcoholemia da positivo. $\bar{P}$ : El test de alcoholemia da negativo.Las probabilidades dadas son:

P(A) = 0.05

P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.05 = 0.95

P(P|A) = 0.96

P(P|\bar{A}) = 0.10

De estas probabilidades, podemos deducir:

P(\bar{P}|A) = 1 - P(P|A) = 1 - 0.96 = 0.04

P(\bar{P}|\bar{A}) = 1 - P(P|\bar{A}) = 1 - 0.10 = 0.90

Calculamos la probabilidad total de que el test dé positivo, $P(P)$ , usando el teorema de la probabilidad total:

P(P) = P(P|A) \cdot P(A) + P(P|\bar{A}) \cdot P(\bar{A})

P(P) = (0.96 \cdot 0.05) + (0.10 \cdot 0.95)

P(P) = 0.048 + 0.095 = 0.143

Por lo tanto, la probabilidad de que el test dé negativo, $P(\bar{P})$ , es:

P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 0.143 = 0.857

a) Si el test da positivo, el conductor haya consumido alcohol.

Se pide calcular $P(A|P)$ . Aplicamos el teorema de Bayes:

P(A|P) = \frac{P(P|A) \cdot P(A)}{P(P)}

P(A|P) = \frac{0.96 \cdot 0.05}{0.143}

P(A|P) = \frac{0.048}{0.143} \approx 0.3357

b) El test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol.

Se pide calcular $P(\bar{P} \cap \bar{A})$ . Usamos la definición de probabilidad condicional:

P(\bar{P} \cap \bar{A}) = P(\bar{P}|\bar{A}) \cdot P(\bar{A})

P(\bar{P} \cap \bar{A}) = 0.90 \cdot 0.95

P(\bar{P} \cap \bar{A}) = 0.855

c) Si el test ha dado negativo, el conductor no haya consumido alcohol.

Se pide calcular $P(\bar{A}|\bar{P})$ . Aplicamos el teorema de Bayes:

P(\bar{A}|\bar{P}) = \frac{P(\bar{P}|\bar{A}) \cdot P(\bar{A})}{P(\bar{P})}

P(\bar{A}|\bar{P}) = \frac{0.90 \cdot 0.95}{0.857}

P(\bar{A}|\bar{P}) = \frac{0.855}{0.857} \approx 0.9977