Para calcular el área de la región determinada por la gráfica de la función $f(x) = xe^{3x}$, el eje de abscisas y la recta $x = a$ (con $a > 0$), primero observamos que para $x \ge 0$, la función $f(x) = xe^{3x}$ es no negativa. Por lo tanto, el área se calcula mediante la integral definida desde $0$ hasta $a$.

Para resolver esta integral, utilizamos el método de integración por partes, $\int u \,dv = uv - \int v \,du$.Elegimos:

Aplicando la fórmula de integración por partes:

Ahora evaluamos la integral definida en los límites de integración de $0$ a $a$:

Según el enunciado, esta área es igual a $\frac{1}{9}$. Por lo tanto, igualamos la expresión obtenida a $\frac{1}{9}$:

Multiplicamos ambos lados por $9$:

Dado que $e^{3a}$ es siempre positivo para cualquier valor real de $a$, el factor $(3a - 1)$ debe ser cero para que el producto sea cero.

Verificamos que este valor de $a$ cumple la condición $a > 0$, ya que $\frac{1}{3} > 0$.