La función $f(x)$ está definida a trozos:

Para $x < 0$, $f(x) = 2^{x+1}$ es una función exponencial, que es continua en su dominio.Para $x > 0$, $f(x) = x^2 - 2x$ es una función polinómica, que es continua en su dominio.Debemos estudiar la continuidad en el punto de cambio de definición, $x = 0$.1. Valor de la función en $x=0$: $f(0) = 0^2 - 2(0) = 0$.2. Límites laterales en $x=0$:

Dado que $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 \neq \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, los límites laterales no coinciden, por lo tanto, no existe el límite de $f(x)$ cuando $x \to 0$. La función $f(x)$ no es continua en $x=0$ (presenta una discontinuidad de salto).

Para que una función sea derivable en un punto, debe ser continua en ese punto. Como $f(x)$ no es continua en $x=0$, no es derivable en $x=0$.Calculamos la derivada para $x \neq 0$:

Las derivadas existen para $x < 0$ y para $x > 0$. Por lo tanto, la función $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Para estudiar la monotonía, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$.

1. Para $x < 0$:$f'(x) = 2^{x+1} \ln(2)$. Como $2^{x+1} > 0$ para todo $x$, y $\ln(2) > 0$, entonces $f'(x) > 0$ para $x < 0$. La función $f(x)$ es creciente en $(-\infty, 0)$.2. Para $x > 0$:$f'(x) = 2x - 2$. Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: $2x - 2 = 0 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos $(0, 1)$ y $(1, \infty)$:- Si $0 < x < 1$ (por ejemplo, $x = 0.5$): $f'(0.5) = 2(0.5) - 2 = 1 - 2 = -1 < 0$. La función $f(x)$ es decreciente en $(0, 1)$.- Si $x > 1$ (por ejemplo, $x = 2$): $f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2 > 0$. La función $f(x)$ es creciente en $(1, \infty)$.

$f(x)$ es creciente en $(-\infty, 0)$ y en $(1, \infty)$.$f(x)$ es decreciente en $(0, 1)$.

En $x=1$, la función cambia de decreciente a creciente, por lo que hay un mínimo local. Calculamos el valor de la función en este punto:

Dado que en $x=0$ hay una discontinuidad de salto y los valores de la función a la izquierda de $0$ se acercan a $2$ mientras que a la derecha de $0$ la función comienza en $f(0)=0$ y decrece hasta $f(1)=-1$, el mínimo absoluto de la función se encuentra en $x=1$.El mínimo de la función es $f(1) = -1$.

Debido a la definición a trozos de $f(x)$, dividimos la integral en dos partes en el punto de cambio $x=0$:

Calculamos la primera integral:

Usamos la sustitución $u = x+1$, $du = dx$. Cuando $x=-2$, $u=-1$. Cuando $x=0$, $u=1$.

Ahora, calculamos la segunda integral:

Finalmente, sumamos los resultados de ambas integrales: