T5: Integrales · Técnicas de integración — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Técnicas de integración

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

Calcula $\int \cos(\ln x) dx$ ( $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Integración por partesLogaritmos

Para calcular la integral $\int \cos(\ln x) dx$ , utilizaremos el método de integración por partes dos veces.Sea $I = \int \cos(\ln x) dx$ .Aplicamos la primera integración por partes, donde la fórmula es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ .

u = \cos(\ln x) \implies du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx

dv = dx \implies v = x

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes:

I = x \cos(\ln x) - \int x \left( -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx

I = x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) dx \quad (1)

Ahora, aplicamos la integración por partes de nuevo a la integral $\int \sin(\ln x) dx$ . Sea $J = \int \sin(\ln x) dx$ .

u = \sin(\ln x) \implies du = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx

dv = dx \implies v = x

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes para $J$ :

J = x \sin(\ln x) - \int x \left( \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx

J = x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx

Observamos que la integral $\int \cos(\ln x) dx$ es la integral original $I$ . Por lo tanto, podemos escribir:

J = x \sin(\ln x) - I \quad (2)

Ahora, sustituimos la expresión de $J$ (2) de nuevo en la ecuación (1):

I = x \cos(\ln x) + (x \sin(\ln x) - I)

Agrupamos los términos con $I$ :

I + I = x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x)

2I = x (\cos(\ln x) + \sin(\ln x))

Finalmente, despejamos $I$ y añadimos la constante de integración $C$ :

I = \frac{x}{2} (\cos(\ln x) + \sin(\ln x)) + C