Para estudiar la posición relativa, primero obtenemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones implícitas.Para la recta $$r \equiv \begin{cases} y = 0 \\ 2x - z = 0 \end{cases}$$, si hacemos $x = \lambda$:

Para la recta $$s \equiv \begin{cases} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$, si hacemos $y = \mu$:

Analizamos la dependencia lineal de los vectores directores. Como sus componentes no son proporcionales, $\frac{1}{1} \neq \frac{0}{-1}$, los vectores son linealmente independientes, por lo que las rectas no son paralelas ni coincidentes.Calculamos ahora el producto mixto de $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s} = (-7, 0, 0)$:

Como el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes, lo que implica que las rectas $r$ y $s$ se cruzan en el espacio.

El vector normal $\vec{n}$ del plano buscado debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas, por lo que lo calculamos mediante el producto vectorial:

La ecuación general del plano será de la forma $2x + 2y - z + D = 0$. La condición de que el plano $\pi$ equidiste de las rectas $r$ y $s$ (siendo paralelo a ambas) se traduce en que la distancia desde un punto de $r$ al plano sea igual a la distancia desde un punto de $s$ al plano:

Esta igualdad da lugar a dos posibles casos:1) $D = -14 + D$, que no tiene solución ($0 = -14$).2) $D = -(-14 + D) \Rightarrow D = 14 - D \Rightarrow 2D = 14 \Rightarrow D = 7$.Por lo tanto, la ecuación del plano buscado es: