T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Intervalos de confianza para proporciones

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

Se quiere estudiar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en una determinada población. Para ello, se elige una muestra al azar de $1000$ ciudadanos, revelándose que el $15 \%$ de ellos están enfermos.

a) Calcule un intervalo de confianza al

95 \%

, para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población.b) Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al

1 \ \%

Intervalo de confianzaTamaño muestralProporciones

Los datos proporcionados son:Tamaño de la muestra: $n = 1000$ Proporción muestral de enfermos: $\hat{p} = 15 \% = 0.15$ Proporción muestral de no enfermos: $1 - \hat{p} = 1 - 0.15 = 0.85$

a) Calcule un intervalo de confianza al

95 \%

, para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población.

Para un nivel de confianza del $95 \%$ , el valor crítico de $z$ se obtiene de la tabla de la distribución normal estándar. El área bajo la curva desde $-\infty$ hasta $z_{\alpha/2}$ debe ser $1 - \alpha/2 = 1 - 0.05/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ . Por lo tanto, $z_{\alpha/2} = 1.96$ .La fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional es:

\text{IC} = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Calculamos el margen de error ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.15 \cdot 0.85}{1000}}

E = 1.96 \sqrt{\frac{0.1275}{1000}} = 1.96 \sqrt{0.0001275} \approx 1.96 \cdot 0.01129158 \approx 0.02213

Ahora construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = 0.15 \pm 0.02213

\text{IC} = (0.15 - 0.02213, 0.15 + 0.02213)

\text{IC} = (0.12787, 0.17213)

El intervalo de confianza al $95 \%$ para la proporción real de enfermos de COVID-19 es $(0.12787, 0.17213)$ , o lo que es lo mismo, entre el $12.79 \%$ y el $17.21 \%$ .

b) Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al

1 \%

El nivel de confianza es del $95 \%$ , por lo que $z_{\alpha/2} = 1.96$ . La proporción muestral utilizada es $\hat{p} = 0.15$ . El error máximo permitido es $E = 1 \% = 0.01$ .La fórmula para el tamaño muestral mínimo es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituimos los valores conocidos:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.15 \cdot (1-0.15)}{(0.01)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.15 \cdot 0.85}{0.0001}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.1275}{0.0001}

n = \frac{0.489804}{0.0001}

n = 4898.04

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea inferior al $1 \%$ , debemos redondear siempre al siguiente entero superior.Por lo tanto, el tamaño muestral mínimo necesario es $n = 4899$ ciudadanos.