T3: Vibraciones y ondas

Energía y parámetros del M.A.S.

Problema

2016 · Extraordinaria · Reserva

4A-b

Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentra un bloque, de masa $m = 0,25 \text{ kg}$ , sujeto al extremo libre de un resorte horizontal fijo por el otro extremo. El bloque realiza un movimiento armónico simple con un periodo de $0,1\pi \text{ s}$ y su energía cinética máxima es $0,5 \text{ J}$ .

b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia del movimiento si se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble, manteniendo la misma energía cinética máxima.

FrecuenciaAmplitudConstante elástica

b) Análisis del cambio al sustituir el resorte por otro de constante elástica doble (

k' = 2k

), manteniendo la misma energía cinética máxima.

Datos del sistema original

Primero obtenemos los valores del sistema original. El periodo es $T = 0{,}1\pi$ s, con $m = 0{,}25$ kg.La constante del resorte original se obtiene de $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ :

k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}25}{(0{,}1\pi)^2} = \frac{\pi^2}{0{,}01\pi^2} = 100 \text{ N/m}

La energía cinética máxima coincide con la energía mecánica total (en el equilibrio, toda la energía es cinética):

E_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2}kA^2 = 0{,}5 \text{ J}

Amplitud original:

A = \sqrt{\frac{2E_{c,\text{máx}}}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}5}{100}} = \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \text{ m}

Nuevo sistema: $k' = 2k = 200$ N/m

Efecto sobre la frecuencia: La frecuencia angular depende de $k$ y $m$ :

\omega' = \sqrt{\frac{k'}{m}} = \sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt{2}\,\omega

La frecuencia también aumenta en un factor $\sqrt{2}$ :

f' = \frac{\omega'}{2\pi} = \sqrt{2}\,f = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{0{,}1\pi} \approx \sqrt{2} \cdot \frac{10}{\pi} \approx 4{,}5 \text{ Hz}

La frecuencia aumenta en un factor $\sqrt{2}$ (se multiplica por $\sqrt{2}$ ).Efecto sobre la amplitud: Manteniendo la misma energía cinética máxima ( $E_{c,\text{máx}} = 0{,}5$ J), la nueva amplitud será:

E_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2}k'A'^2 \implies A' = \sqrt{\frac{2E_{c,\text{máx}}}{k'}} = \sqrt{\frac{2E_{c,\text{máx}}}{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{2E_{c,\text{máx}}}{k}} = \frac{A}{\sqrt{2}}

A' = \frac{0{,}1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}071 \text{ m}

La amplitud disminuye en un factor $\sqrt{2}$ (se divide por $\sqrt{2}$ ).

Conclusión

Al duplicar la constante elástica manteniendo la misma energía cinética máxima: la frecuencia aumenta en un factor $\sqrt{2}$ (el resorte más rígido oscila más rápido) y la amplitud disminuye en un factor $\sqrt{2}$ (para almacenar la misma energía con un resorte más rígido se necesita menos deformación). Ambos cambios son coherentes con el hecho de que $E = \frac{1}{2}kA^2$ : si $k$ se duplica, $A^2$ debe reducirse a la mitad para mantener E constante.