T3: Geometría · Intersección y paralelismo — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Intersección y paralelismo

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

Sea $\pi_1$ el plano determinado por los puntos $A(1, 0, 0)$ , $B(1, 1, -3)$ y $C(0, 1, 1)$ , y sea $\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0$ . Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.

Ecuación de la rectaPlano determinado por tres puntosParalelismo

Determinación del vector normal al plano $\pi_1$

Para hallar el vector normal al plano $\pi_1$ que contiene los puntos $A(1, 0, 0)$ , $B(1, 1, -3)$ y $C(0, 1, 1)$ , calculamos primero dos vectores directores del mismo a partir de dichos puntos:

\vec{AB} = (1-1, 1-0, -3-0) = (0, 1, -3)

\vec{AC} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)

El vector normal $\vec{n}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ :

\vec{n}_1 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - (-3))\mathbf{i} - (0 - 3)\mathbf{j} + (0 - (-1))\mathbf{k} = (4, 3, 1)

Determinación del vector director de la recta $r$

El plano $\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0$ tiene como vector normal $\vec{n}_2 = (1, -1, 1)$ . Dado que la recta $r$ debe ser paralela a ambos planos, su vector director $\vec{v}_r$ tiene que ser perpendicular a los vectores normales $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ . Por tanto, calculamos $\vec{v}_r$ mediante el producto vectorial de ambos:

\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (3 - (-1))\mathbf{i} - (4 - 1)\mathbf{j} + (-4 - 3)\mathbf{k} = (4, -3, -7)

Ecuación de la recta $r$

La recta $r$ pasa por el origen $O(0, 0, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (4, -3, -7)$ . Utilizando estos datos, la ecuación de la recta en su forma continua es:

\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-7}