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T5: Física moderna
Física cuántica
Problema
2018 · Extraordinaria · Titular
4B-b
Examen

Para poder determinar la constante de Planck de forma experimental se ilumina una superficie de cobre con una luz de 1,2⋅1015 Hz1,2 \cdot 10^{15} \text{ Hz} observándose que los electrones se emiten con una velocidad de 3,164⋅105 m/s3,164 \cdot 10^5 \text{ m/s}. A continuación se ilumina la misma superficie con otra luz de 1,4⋅1015 Hz1,4 \cdot 10^{15} \text{ Hz} y se observa que los electrones se emiten con una velocidad de 6,255⋅105 m/s6,255 \cdot 10^5 \text{ m/s}.

b) Determine el valor de la constante de Planck y la función trabajo del cobre.

Datos: c=3⋅108 m/sc = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

Efecto fotoeléctricoConstante de PlanckFunción trabajo
b) Determinación de la constante de Planck y la función trabajo del cobre.

Aplicamos la ecuación del efecto fotoeléctrico de Einstein para cada frecuencia:

h⋅f=W+Ec=W+12mev2h \cdot f = W + E_c = W + \frac{1}{2} m_e v^2

Planteamos el sistema con los dos experimentos:Experimento 1: f1=1,2⋅1015f_1 = 1{,}2 \cdot 10^{15} Hz, v1=3,164⋅105v_1 = 3{,}164 \cdot 10^5 m/s

h⋅f1=W+12mev12(I)h \cdot f_1 = W + \frac{1}{2} m_e v_1^2 \quad \text{(I)}

Experimento 2: f2=1,4⋅1015f_2 = 1{,}4 \cdot 10^{15} Hz, v2=6,255⋅105v_2 = 6{,}255 \cdot 10^5 m/s

h⋅f2=W+12mev22(II)h \cdot f_2 = W + \frac{1}{2} m_e v_2^2 \quad \text{(II)}

Restando (I) de (II) para eliminar la función trabajo WW:

h(f2−f1)=12me(v22−v12)h(f_2 - f_1) = \frac{1}{2} m_e (v_2^2 - v_1^2)

Calculamos las energías cinéticas:

12mev12=12⋅9,1⋅10−31⋅(3,164⋅105)2\frac{1}{2} m_e v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot (3{,}164 \cdot 10^5)^2
=12⋅9,1⋅10−31⋅1,0011⋅1011=4,555⋅10−20 J= \frac{1}{2} \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 1{,}0011 \cdot 10^{11} = 4{,}555 \cdot 10^{-20} \text{ J}
12mev22=12⋅9,1⋅10−31⋅(6,255⋅105)2\frac{1}{2} m_e v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot (6{,}255 \cdot 10^5)^2
=12⋅9,1⋅10−31⋅3,9125⋅1011=1,780⋅10−19 J= \frac{1}{2} \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 3{,}9125 \cdot 10^{11} = 1{,}780 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Diferencia de energías cinéticas:

12mev22−12mev12=1,780⋅10−19−4,555⋅10−20=1,325⋅10−19 J\frac{1}{2} m_e v_2^2 - \frac{1}{2} m_e v_1^2 = 1{,}780 \cdot 10^{-19} - 4{,}555 \cdot 10^{-20} = 1{,}325 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Diferencia de frecuencias:

f2−f1=(1,4−1,2)⋅1015=0,2⋅1015=2⋅1014 Hzf_2 - f_1 = (1{,}4 - 1{,}2) \cdot 10^{15} = 0{,}2 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

Despejamos la constante de Planck:

h=12me(v22−v12)f2−f1=1,325⋅10−192⋅1014h = \frac{\frac{1}{2} m_e (v_2^2 - v_1^2)}{f_2 - f_1} = \frac{1{,}325 \cdot 10^{-19}}{2 \cdot 10^{14}}
h=6,625⋅10−34 J⋅s\boxed{h = 6{,}625 \cdot 10^{-34} \text{ J·s}}

Determinamos la función trabajo del cobre usando la ecuación (I):

W=h⋅f1−12mev12W = h \cdot f_1 - \frac{1}{2} m_e v_1^2
W=6,625⋅10−34⋅1,2⋅1015−4,555⋅10−20W = 6{,}625 \cdot 10^{-34} \cdot 1{,}2 \cdot 10^{15} - 4{,}555 \cdot 10^{-20}
W=7,95⋅10−19−4,555⋅10−20=7,494⋅10−19 JW = 7{,}95 \cdot 10^{-19} - 4{,}555 \cdot 10^{-20} = 7{,}494 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Expresando en electronvoltios:

W=7,494⋅10−191,6⋅10−19≈4,68 eVW = \frac{7{,}494 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 4{,}68 \text{ eV}

Verificación con el experimento 2:

h⋅f2−12mev22=6,625⋅10−34⋅1,4⋅1015−1,780⋅10−19h \cdot f_2 - \frac{1}{2} m_e v_2^2 = 6{,}625 \cdot 10^{-34} \cdot 1{,}4 \cdot 10^{15} - 1{,}780 \cdot 10^{-19}
=9,275⋅10−19−1,780⋅10−19=7,495⋅10−19 J≈4,68 eV✓= 9{,}275 \cdot 10^{-19} - 1{,}780 \cdot 10^{-19} = 7{,}495 \cdot 10^{-19} \text{ J} \approx 4{,}68 \text{ eV} \checkmark

Resultados finales:

h=6,625⋅10−34 J⋅s\boxed{h = 6{,}625 \cdot 10^{-34} \text{ J·s}}
W≈7,49⋅10−19 J≈4,68 eV\boxed{W \approx 7{,}49 \cdot 10^{-19} \text{ J} \approx 4{,}68 \text{ eV}}