Para estudiar la posición relativa de las rectas y resolver los apartados, primero identificamos un punto y un vector director de cada una de ellas.Para la recta $r$, dada en su forma continua:

Obtenemos el punto $P_r = (0, -a, -1)$ y el vector director $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$.Para la recta $s$, dada como intersección de dos planos, calculamos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos:

Para obtener un punto $P_s$ de la recta $s$, fijamos $x = 0$ en sus ecuaciones:

Así, el punto es $P_s = (0, -\frac{3a}{2}, 2)$.

Para que las rectas se corten en un punto, los vectores $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector que une puntos de ambas rectas $\vec{P_r P_s}$ deben ser coplanarios (su determinante debe ser cero) y los vectores directores no deben ser paralelos.Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$:

Imponemos que el determinante de la matriz formada por los tres vectores sea cero:

Igualando a cero: $3a + 3 = 0 \Rightarrow a = -1$.Como los vectores $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$ y $\vec{v_s} = (-2, -1, 2)$ no son proporcionales, las rectas se cortan para $a = -1$.

Para $a = -1$, las rectas se cortan. La recta perpendicular común $t$ pasará por el punto de corte de $r$ y $s$ y su dirección será el producto vectorial de los vectores directores de ambas.Calculamos el vector director de la recta $t$:

Para hallar la recta $t$, podemos definirla como la intersección de dos planos $\pi_1$ (que contiene a $r$ y tiene dirección $\vec{v_t}$) y $\pi_2$ (que contiene a $s$ y tiene dirección $\vec{v_t}$).Plano $\pi_1$ (con $P_r = (0, 1, -1)$, $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$ y $\vec{v_t} = (4, -6, 1)$):

Plano $\pi_2$ (con $P_s = (0, 3/2, 2)$, $\vec{v_s} = (-2, -1, 2)$ y $\vec{v_t} = (4, -6, 1)$):

Por tanto, la recta perpendicular común es: