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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2021 · Extraordinaria · Reserva
B.1-b
Examen

Una espira cuadrada de 5 cm5 \text{ cm} de lado se sitúa en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de módulo 20 T20 \text{ T}. Si se reduce de manera uniforme el valor del módulo del campo a 10 T10 \text{ T} en un intervalo de tiempo de 3 s3 \text{ s}, calcule de forma razonada:

i) La expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.ii) La fuerza electromotriz inducida en ese periodo de tiempo.
flujo magnéticoley de Faradayespira cuadrada

Datos iniciales:

L=5 cm=0.05 mL = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}
B0=20 TB_0 = 20 \text{ T}
Bf=10 TB_f = 10 \text{ T}
Δt=3 s\Delta t = 3 \text{ s}

El área de la espira cuadrada es:

A=L2=(0.05 m)2=0.0025 m2A = L^2 = (0.05 \text{ m})^2 = 0.0025 \text{ m}^2

Dado que el plano de la espira es perpendicular al campo magnético, el vector de área A⃗\vec{A} es paralelo al vector de campo magnético B⃗\vec{B}, por lo que el ángulo θ\theta entre ellos es 0∘0^\circ (o 180∘180^\circ, lo que solo afectaría el signo del flujo, pero no la magnitud de la FEM inducida).

i) La expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.

El campo magnético se reduce de manera uniforme, por lo que su valor en función del tiempo B(t)B(t) puede expresarse como una función lineal. La tasa de cambio del campo magnético es:

dBdt=Bf−B0Δt=10 T−20 T3 s=−103 T/s\frac{dB}{dt} = \frac{B_f - B_0}{\Delta t} = \frac{10 \text{ T} - 20 \text{ T}}{3 \text{ s}} = -\frac{10}{3} \text{ T/s}

Así, la expresión del campo magnético en función del tiempo es:

B(t)=B0+(dBdt)t=20−103t(para 0≤t≤3 s)B(t) = B_0 + \left(\frac{dB}{dt}\right) t = 20 - \frac{10}{3} t \quad (\text{para } 0 \le t \le 3 \text{ s})

La expresión general para el flujo magnético ΦB\Phi_B a través de una espira es:

ΦB=B⃗⋅A⃗=BAcos⁡θ\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos\theta

Sustituyendo B(t)B(t) y AA, con cos⁡(0∘)=1\cos(0^\circ) = 1:

ΦB(t)=(20−103t)⋅(0.0025 m2)\Phi_B(t) = \left(20 - \frac{10}{3} t\right) \cdot (0.0025 \text{ m}^2)
ΦB(t)=(20⋅0.0025)−(103⋅0.0025)t\Phi_B(t) = (20 \cdot 0.0025) - \left(\frac{10}{3} \cdot 0.0025\right) t
ΦB(t)=0.05−0.0253t\Phi_B(t) = 0.05 - \frac{0.025}{3} t
ΦB(t)=0.05−1120t(en Weber, Wb)\Phi_B(t) = 0.05 - \frac{1}{120} t \quad (\text{en Weber, Wb})
ii) La fuerza electromotriz inducida en ese periodo de tiempo.

La fuerza electromotriz (FEM) inducida se calcula mediante la Ley de Faraday-Lenz:

E=−dΦBdt\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

Derivando la expresión del flujo magnético obtenida en el apartado anterior:

E=−ddt(0.05−0.0253t)\mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left(0.05 - \frac{0.025}{3} t\right)
E=−(0−0.0253)\mathcal{E} = -\left(0 - \frac{0.025}{3}\right)
E=0.0253 V\mathcal{E} = \frac{0.025}{3} \text{ V}
E=1120 V\mathcal{E} = \frac{1}{120} \text{ V}
E≈0.00833 V\mathcal{E} \approx 0.00833 \text{ V}