T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2016 · Ordinaria · Reserva

3A-a

El satélite español PAZ de observación de la Tierra, de $1400 \text{ kg}$ , se lanza con el propósito de situarlo en una órbita circular geoestacionaria.

a) Explique qué es un satélite geoestacionario y calcule el valor de la altura respecto de la superficie terrestre a la que se encuentra dicho satélite.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} ; M_T = 6 \cdot 10^{24} \text{ kg} ; R_T = 6370 \text{ km}$

Satélites geoestacionariosÓrbita circular

Satélite geoestacionario PAZ

a) Un satélite geoestacionario es aquel que orbita alrededor de la Tierra en una órbita circular ecuatorial con un período orbital igual al período de rotación de la Tierra (

T = 24 \ \text{h}

). Esto hace que el satélite permanezca siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre, por lo que parece inmóvil desde la Tierra. Se utilizan principalmente para telecomunicaciones y meteorología.

Para calcular la altura, igualamos la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta necesaria para mantener el satélite en órbita circular:

F_g = F_c \implies \frac{G M_T m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}

Simplificando la masa del satélite $m$ y despejando $r$ :

\frac{G M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \implies r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}

Convertimos el período a segundos: $T = 24 \ \text{h} = 24 \times 3600 = 86400 \ \text{s}$ Sustituimos los datos:

r^3 = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times (86400)^2}{4\pi^2}

r^3 = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 7{,}4649 \times 10^{9}}{39{,}478}

r^3 = \frac{2{,}988 \times 10^{24}}{39{,}478} = 7{,}569 \times 10^{22} \ \text{m}^3

r = \sqrt[3]{7{,}569 \times 10^{22}} = 4{,}22 \times 10^{7} \ \text{m} = 42200 \ \text{km}

La altura sobre la superficie terrestre es:

h = r - R_T = 42200 \ \text{km} - 6370 \ \text{km} = 35830 \ \text{km} \approx 3{,}58 \times 10^{7} \ \text{m}

El satélite PAZ, si fuera geoestacionario, orbita a una altura de aproximadamente $35830 \ \text{km}$ sobre la superficie terrestre.