T1: Interacción gravitatoria

Velocidad de escape

Teoría

2022 · Ordinaria · Reserva

A2-a

a) Un planeta B tiene la mitad de masa que otro planeta A, y la velocidad de escape del planeta B es el triple que la de A. Deduzca la expresión de la velocidad de escape y determine razonadamente la relación entre los radios de ambos planetas.

Interacción gravitatoriaVelocidad de escapeRadio planetario

a) Para deducir la expresión de la velocidad de escape, consideramos un objeto de masa

m

en la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

. La energía mecánica total inicial del objeto es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:

E_{inicial} = \frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R}

Para que el objeto escape del campo gravitatorio del planeta, debe alcanzar el infinito con una velocidad mínima (idealmente cero), por lo que su energía mecánica final debe ser cero:

E_{final} = 0 \quad (\text{en } r \to \infty, v \to 0)

Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, tenemos que $E_{inicial} = E_{final}$ :

\frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R} = 0

Despejando la velocidad de escape $v_e$ :

\frac{1}{2}mv_e^2 = G\frac{Mm}{R}

La masa $m$ del objeto se cancela:

v_e^2 = \frac{2GM}{R}

Finalmente, la expresión de la velocidad de escape es:

v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Ahora, determinaremos la relación entre los radios de ambos planetas. Se nos da que la masa del planeta B es la mitad que la del planeta A ( $M_B = \frac{1}{2}M_A$ ) y que la velocidad de escape del planeta B es el triple que la de A ( $v_{eB} = 3v_{eA}$ ). Aplicamos la fórmula de la velocidad de escape para cada planeta:

v_{eA} = \sqrt{\frac{2GM_A}{R_A}}

v_{eB} = \sqrt{\frac{2GM_B}{R_B}}

Sustituimos las relaciones dadas en la expresión de $v_{eB}$ :

3v_{eA} = \sqrt{\frac{2G(\frac{1}{2}M_A)}{R_B}}

Simplificamos la expresión:

3v_{eA} = \sqrt{\frac{GM_A}{R_B}}

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

(3v_{eA})^2 = \frac{GM_A}{R_B}

9v_{eA}^2 = \frac{GM_A}{R_B}

De la expresión de $v_{eA}$ , sabemos que $v_{eA}^2 = \frac{2GM_A}{R_A}$ . Sustituimos esto en la ecuación anterior:

9\left(\frac{2GM_A}{R_A}\right) = \frac{GM_A}{R_B}

Multiplicamos los términos de la izquierda:

\frac{18GM_A}{R_A} = \frac{GM_A}{R_B}

Ahora, podemos cancelar el término $GM_A$ de ambos lados de la ecuación:

\frac{18}{R_A} = \frac{1}{R_B}

Despejamos la relación entre los radios:

18R_B = R_A

Por lo tanto, el radio del planeta A es 18 veces el radio del planeta B, o el radio del planeta B es la dieciochoava parte del radio del planeta A.