El precio de venta al público del kilogramo de frambuesas sigue una ley Normal con media $\mu$ desconocida y varianza $\sigma^2 = 9$.

Se toma una muestra aleatoria de $n = 10$ comercios, con los siguientes precios (en euros):12.3, 10, 9.1, 11, 10.5, 11.8, 9.9, 11.5, 10.9, 13 Calculamos la media muestral $\bar{x}$:

Dado que la población original sigue una distribución Normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 3$, la distribución de las medias muestrales ($\bar{X}$) de tamaño $n=10$ también seguirá una distribución Normal.La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional, $\mu_{\bar{X}} = \mu$.La desviación típica de las medias muestrales (error estándar) será $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Por lo tanto, la distribución de las medias de las muestras de tamaño 10 es:

Para un nivel de confianza del 97 %, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$.El nivel de confianza $C = 0.97$, por lo tanto $\alpha = 1 - C = 1 - 0.97 = 0.03$.Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.03/2 = 1 - 0.015 = 0.985$.Consultando la tabla de la distribución Normal estándar o utilizando una calculadora, obtenemos $z_{0.015} \approx 2.17$.El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ (con desviación típica poblacional $\sigma$ conocida) es:

Sustituyendo los valores:

Calculamos los límites del intervalo:

El intervalo de confianza al 97 % para el precio medio del kilogramo de frambuesas es $\left(9.14, 13.26\right)$ euros.

El error máximo permitido $E$ es 1.5 euros. La fórmula del error máximo es:

Despejamos $n$ de la ecuación:

Utilizamos el mismo valor crítico $z_{\alpha/2} = 2.17$ y $\sigma = 3$. El error $E$ debe ser menor a 1.5 euros, así que tomamos $E = 1.5$ para calcular el tamaño mínimo.

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se necesita que el error sea menor a 1.5, debemos redondear al siguiente entero superior.El tamaño mínimo que debe tener una muestra es $n = 19$.