T3: Geometría · Geometría métrica — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Geometría métrica

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

Considera el plano $\pi \equiv x + y + z + 1 = 0$ y los puntos $A(1, 2, 0)$ y $B(3, 1, 0)$ .

a) Calcula el punto simétrico del punto

A

con respecto al plano

\pi

.b) Halla el plano que contiene a los puntos

A

B

y es perpendicular al plano

\pi

Punto simétricoPlanoPerpendicularidad

Resolución del ejercicio de geometría en el espacio

a) Calcula el punto simétrico del punto

A

con respecto al plano

\pi

Para hallar el punto simétrico $A'$ de $A(1, 2, 0)$ respecto al plano $\pi \equiv x + y + z + 1 = 0$ , primero determinamos la recta $r$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $\pi$ . El vector director de esta recta es el vector normal del plano, $\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)$ .

r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}

Calculamos el punto de intersección $M$ (proyección ortogonal de $A$ sobre el plano) sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:

(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + (\lambda) + 1 = 0 \implies 3\lambda + 4 = 0 \implies \lambda = -\frac{4}{3}

Sustituimos el valor de $\lambda$ en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas de $M$ :

M = \left( 1 - \frac{4}{3}, 2 - \frac{4}{3}, -\frac{4}{3} \right) = \left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3} \right)

Puesto que $M$ es el punto medio del segmento $AA'$ , donde $A'(x', y', z')$ , se cumple que $M = \frac{A + A'}{2}$ , o lo que es lo mismo, $A' = 2M - A$ :

A' = 2\left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3} \right) - (1, 2, 0) = \left( -\frac{2}{3} - 1, \frac{4}{3} - 2, -\frac{8}{3} - 0 \right) = \left( -\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{8}{3} \right)

b) Halla el plano que contiene a los puntos

A

B

y es perpendicular al plano

\pi

El plano buscado $\pi'$ contiene a los puntos $A(1, 2, 0)$ y $B(3, 1, 0)$ , por lo que uno de sus vectores directores es $\vec{AB}$ . Además, al ser perpendicular al plano $\pi$ , su segundo vector director será el vector normal de dicho plano, $\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)$ .

\vec{AB} = (3 - 1, 1 - 2, 0 - 0) = (2, -1, 0)

Utilizando el punto $A$ y los dos vectores directores, la ecuación del plano se obtiene mediante el determinante:

\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0

Desarrollamos el determinante por la primera fila:

(x - 1)(-1 - 0) - (y - 2)(2 - 0) + z(2 + 1) = 0

-1(x - 1) - 2(y - 2) + 3z = 0 \implies -x + 1 - 2y + 4 + 3z = 0

Simplificando, obtenemos la ecuación general del plano:

\pi' \equiv x + 2y - 3z - 5 = 0