Para la función $f(x) = \ln \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$, podemos usar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión antes de derivar:

Ahora, derivamos término a término, aplicando la regla de la cadena:

Para simplificar, hallamos un denominador común:

Para la función $g(x) = x^3 \cdot e^{2x^2}$, aplicamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$. Consideramos $u = x^3$ y $v = e^{2x^2}$.Derivadas de $u$ y $v$:

Ahora aplicamos la regla del producto:

Podemos factorizar $x^2 e^{2x^2}$:

La función es una parábola $h(x) = x^2 + x + 1$. Los coeficientes son $a=1$, $b=1$, $c=1$.Cálculo del vértice:La coordenada $x$ del vértice se calcula con la fórmula $x_v = -\frac{b}{2a}$.

La coordenada $y$ del vértice se obtiene sustituyendo $x_v$ en la función:

El vértice de la parábola es $V\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$.Puntos de corte con los ejes coordenados:Corte con el eje $y$: Se hace $x=0$.

El punto de corte con el eje $y$ es $(0, 1)$.Corte con el eje $x$: Se hace $h(x)=0$.

Calculamos el discriminante de la ecuación cuadrática $\Delta = b^2 - 4ac$.

Como el discriminante es negativo ($\Delta < 0$), no existen raíces reales, lo que significa que la parábola no corta el eje $x$.Representación gráfica:La parábola tiene el vértice en $V\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$, corta el eje $y$ en $(0, 1)$ y no corta el eje $x$. Como el coeficiente $a=1 > 0$, la parábola se abre hacia arriba, estando siempre por encima del eje de abscisas.

Dado que la función $h(x) = x^2 + x + 1$ es siempre positiva (su mínimo es $y_v = \frac{3}{4} > 0$), el área se calcula mediante la integral definida de $h(x)$ entre los límites $x = -\frac{1}{2}$ y $x = 0$.

Primero, calculamos la integral indefinida:

Ahora, evaluamos la integral definida utilizando la Regla de Barrow:

Buscamos un denominador común (24) para las fracciones dentro del paréntesis:

El área del recinto es $\frac{5}{12}$ unidades cuadradas.