La función $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ es una función racional. El dominio está restringido por los valores de $x$ que anulan el denominador.

Por lo tanto, el dominio de la función es $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada de $f(x)$:

Como $f'(x) = \frac{5}{(x+2)^2}$, y para $x \in D(f)$, el numerador es $5 > 0$ y el denominador $(x+2)^2 > 0$, entonces $f'(x) > 0$ para todo $x \in D(f)$.La función $f(x)$ es estrictamente creciente en todo su dominio, es decir, en los intervalos $(-\infty, -2)$ y $(-2, +\infty)$.

Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada de $f(x)$:

No existen puntos de inflexión ya que $f''(x) \neq 0$ para ningún valor de $x$. Estudiamos el signo de $f''(x)$:* Si $x < -2$, por ejemplo $x=-3$: $(x+2)^3 = (-1)^3 = -1$. Entonces $f''(x) = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. La función es convexa (cóncava hacia arriba) en $(-\infty, -2)$.* Si $x > -2$, por ejemplo $x=0$: $(x+2)^3 = (2)^3 = 8$. Entonces $f''(x) = \frac{-10}{8} < 0$. La función es cóncava (cóncava hacia abajo) en $(-2, +\infty)$.

Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos donde el denominador es cero y el numerador no. En este caso, $x=-2$ es un punto candidato.

Por lo tanto, la recta $x = -2$ es una asíntota vertical.

Calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$:

Por lo tanto, la recta $y = 1$ es una asíntota horizontal.

Al existir asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas.

* Corte con el eje Y (cuando $x=0$):

El punto de corte con el eje Y es $(0, -3/2)$.* Corte con el eje X (cuando $y=0$):

El punto de corte con el eje X es $(3, 0)$.

Para representar la gráfica de la función, utilizamos la información obtenida en los apartados anteriores:* Dominio: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.* Asíntota Vertical: $x = -2$.* Asíntota Horizontal: $y = 1$.* Puntos de corte: Con el eje Y en $(0, -3/2)$ y con el eje X en $(3, 0)$.* Monotonía: Siempre creciente en su dominio.* Curvatura: Convexa en $(-\infty, -2)$ y cóncava en $(-2, +\infty)$.La gráfica se aproxima a la asíntota vertical $x=-2$ tendiendo a $+\infty$ por la izquierda y a $-\infty$ por la derecha. Se aproxima a la asíntota horizontal $y=1$ cuando $x \to \pm\infty$. Pasa por los puntos $(0, -1.5)$ y $(3, 0)$, y es siempre creciente. La forma general de la gráfica es una hipérbola con sus ramas en los cuadrantes superior izquierdo y inferior derecho respecto al nuevo origen de coordenadas $(-2,1)$ formado por las asíntotas.