T1: Interacción gravitatoria

Dinámica y energía

Problema

2017 · Extraordinaria · Titular

1A-b

b) Un cuerpo de

3 \text{ kg}

se lanza hacia arriba con una velocidad de

20 \text{ m s}^{-1}

por un plano inclinado

60^{\circ}

con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es

0,3

, calcule la distancia que recorre el cuerpo sobre el plano durante su ascenso y el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, comentando su signo.

Dato: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

Plano inclinadoRozamientoTrabajo y energía

Análisis de fuerzas sobre el plano inclinado

El cuerpo sube por el plano inclinado, por lo que la fuerza de rozamiento actúa hacia abajo del plano (oponiéndose al movimiento). Las fuerzas que actúan son el peso, la normal y la fricción.Fuerza normal al plano:

N = mg\cos 60^\circ = 3 \times 9{,}8 \times 0{,}5 = 14{,}7 \text{ N}

Componente del peso paralela al plano (hacia abajo):

P_\parallel = mg\sin 60^\circ = 3 \times 9{,}8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25{,}46 \text{ N}

Fuerza de rozamiento (hacia abajo del plano durante el ascenso):

f_r = \mu \cdot N = 0{,}3 \times 14{,}7 = 4{,}41 \text{ N}

Aceleración durante el ascenso

Tomando el sentido positivo hacia arriba del plano, la segunda ley de Newton da:

\sum F = -P_\parallel - f_r = m\,a

a = \frac{-P_\parallel - f_r}{m} = \frac{-25{,}46 - 4{,}41}{3} = \frac{-29{,}87}{3} = -9{,}96 \text{ m s}^{-2}

El signo negativo indica que la aceleración es hacia abajo del plano, lo que frena el movimiento ascendente.

Distancia recorrida durante el ascenso

Usando la ecuación cinemática $v^2 = v_0^2 + 2a\,d$ , con $v = 0$ en el punto más alto:

0 = v_0^2 + 2\,a\,d \implies d = \frac{-v_0^2}{2\,a}

d = \frac{-(20)^2}{2 \times (-9{,}96)} = \frac{-400}{-19{,}92} \approx 20{,}08 \text{ m}

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento

El trabajo de la fuerza de rozamiento se calcula como:

W_{fr} = -f_r \cdot d = -4{,}41 \times 20{,}08 \approx -88{,}55 \text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es negativo porque esta fuerza actúa en sentido contrario al desplazamiento (hacia abajo del plano mientras el cuerpo sube). Esto significa que la fricción extrae energía cinética del sistema, disipándola en forma de calor. La fuerza de rozamiento siempre realiza trabajo negativo, ya que siempre se opone al movimiento, siendo una fuerza no conservativa que disipa energía mecánica.