T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Intervalos de confianza para proporciones

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

BLOQUE D

Se desea estimar la proporción de personas mayores de $45 \text{ años}$ de una determinada ciudad que tienen presbicia (vista cansada). Para ello, se toma una muestra aleatoria de $540 \text{ personas}$ mayores de $45 \text{ años}$ , obteniéndose que $378$ tienen presbicia.

a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del

97\%

, para estimar la proporción poblacional de personas mayores de

45 \text{ años}

con presbicia en dicha ciudad.b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuántas personas se deberán seleccionar como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un

3\%

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaTamaño muestral

Datos iniciales:Número total de personas en la muestra: $n = 540$ Número de personas con presbicia en la muestra: $x = 378$ Proporción muestral de personas con presbicia: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{378}{540} = 0.7$ Proporción muestral de personas sin presbicia: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.7 = 0.3$

a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del

97\%

, para estimar la proporción poblacional de personas mayores de

45 \text{ años}

con presbicia en dicha ciudad.

Para un nivel de confianza del $97\%$ , tenemos $1 - \alpha = 0.97$ , lo que implica $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{\alpha/2} \approx 2.17$ .La fórmula del intervalo de confianza para la proporción poblacional ( $p$ ) es:

\text{I.C.} = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

Calculamos el error máximo permitido ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.7(0.3)}{540}}

E = 2.17 \sqrt{\frac{0.21}{540}} = 2.17 \sqrt{0.0003888...}

E \approx 2.17 \times 0.019719 \approx 0.0428

Sustituyendo los valores en la fórmula del intervalo de confianza:

\text{I.C.} = (0.7 - 0.0428, 0.7 + 0.0428)

\text{I.C.} = (0.6572, 0.7428)

El intervalo de confianza del $97\%$ para la proporción poblacional de personas con presbicia es $(0.6572, 0.7428)$ .

b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuántas personas se deberán seleccionar como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un

3\%

Se nos pide que el error máximo ( $E$ ) sea como máximo del $3\%$ , es decir, $E = 0.03$ .Mantenemos la proporción muestral $\hat{p} = 0.7$ y el valor crítico $z_{\alpha/2} = 2.17$ .La fórmula para calcular el tamaño mínimo de la muestra ( $n$ ) es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})

Sustituyendo los valores conocidos:

n = \left( \frac{2.17}{0.03} \right)^2 (0.7)(0.3)

n = (72.333...)^2 \times 0.21

n \approx 5232.04 \times 0.21

n \approx 1098.7284

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se busca el mínimo, redondeamos al alza.Se deberán seleccionar como mínimo $1099$ personas.