T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2019

Radiactividad

Problema

2019 · Ordinaria · Reserva

4A-b

Al someter a la prueba del $\ce{^{14}C}$ una herramienta de madera encontrada en un yacimiento arqueológico, se detecta que la actividad de dicho isótopo es un $15\%$ de la correspondiente a la de una muestra actual de la misma madera. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del $\ce{^{14}C}$ es de $5730 \text{ años}$ , determine la constante de desintegración y calcule antigüedad de dicha herramienta.

Carbono-14dataciónperiodo de semidesintegración+1

Datos:

T_{1/2} = 5730 \text{ años}

A = 0.15 A_0

a) Determinación de la constante de desintegración (

\lambda

La constante de desintegración ( $\lambda$ ) y el periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) están relacionados por la expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Despejando $\lambda$ y sustituyendo los valores:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5730 \text{ años}} = 1.209 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}

b) Cálculo de la antigüedad de la herramienta (

t

La ley de desintegración radiactiva para la actividad es:

A = A_0 e^{-\lambda t}

Donde $A$ es la actividad actual, $A_0$ es la actividad inicial, $\lambda$ es la constante de desintegración y $t$ es el tiempo transcurrido (antigüedad). Sustituimos la relación de actividades y la constante de desintegración calculada:

0.15 A_0 = A_0 e^{-\lambda t}

0.15 = e^{-\lambda t}

Aplicamos el logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación:

\ln(0.15) = -\lambda t

Despejamos $t$ :

t = \frac{\ln(0.15)}{-\lambda} = \frac{-1.897}{-1.209 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}}

t \approx 15690 \text{ años}

La antigüedad de la herramienta es aproximadamente $15690 \text{ años}$ .