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T4: Funciones
Continuidad y Recta tangente
Problema
2021 · Ordinaria · Titular
2
Examen

Considera la función continua f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por

f(x)={(3x−6)exsi x≤036(sen(x)−ax)x3si x>0f(x) = \begin{cases} (3x - 6)e^x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{36(\text{sen}(x) - ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a) Calcula aa.b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−1x = -1.
ContinuidadRecta tangenteLímites+1
a) Calcula aa.

Para que la función f(x)f(x) sea continua en R\mathbb{R}, debe serlo en x=0x=0. Esto implica que los límites laterales y el valor de la función en x=0x=0 deben ser iguales:

lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)

1. Calculamos f(0)f(0):

f(0)=(3(0)−6)e0=(−6)(1)=−6f(0) = (3(0) - 6)e^0 = (-6)(1) = -6

2. Calculamos el límite por la izquierda en x=0x=0:

lim⁡x→0−(3x−6)ex=(3(0)−6)e0=−6\lim_{x \to 0^-} (3x - 6)e^x = (3(0) - 6)e^0 = -6

3. Calculamos el límite por la derecha en x=0x=0. Sustituyendo x=0x=0 en la expresión de la derecha obtenemos la indeterminación 00\frac{0}{0}, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to 0^+} \frac{36(\text{sen}(x) - ax)}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{36(\cos(x) - a)}{3x^2}

Para que este límite sea finito, el numerador debe tender a cero cuando x→0x \to 0. Por lo tanto, cos⁡(0)−a=0\cos(0) - a = 0, lo que implica 1−a=01 - a = 0, de donde a=1a=1.Sustituimos a=1a=1 y aplicamos L'Hôpital dos veces más:

lim⁡x→0+36(cos⁡(x)−1)3x2=lim⁡x→0+12(cos⁡(x)−1)x2(00)\lim_{x \to 0^+} \frac{36(\cos(x) - 1)}{3x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{12(\cos(x) - 1)}{x^2} \quad \left(\frac{0}{0}\right)
=lim⁡x→0+12(−sen(x))2x=lim⁡x→0+−6sen(x)x(00)= \lim_{x \to 0^+} \frac{12(-\text{sen}(x))}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-6\text{sen}(x)}{x} \quad \left(\frac{0}{0}\right)
=lim⁡x→0+−6cos⁡(x)1=−6cos⁡(0)=−6(1)=−6= \lim_{x \to 0^+} \frac{-6\cos(x)}{1} = -6\cos(0) = -6(1) = -6

Dado que los límites laterales y el valor de la función deben ser iguales para la continuidad, se confirma que a=1a=1.

a=1a = 1
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−1x = -1.

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en un punto x0x_0 viene dada por la expresión y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0). En este caso, x0=−1x_0 = -1. Para x≤0x \le 0, la función es f(x)=(3x−6)exf(x) = (3x - 6)e^x.1. Calculamos el valor de la función en x0=−1x_0 = -1:

f(−1)=(3(−1)−6)e−1=(−3−6)e−1=−9e−1=−9ef(-1) = (3(-1) - 6)e^{-1} = (-3 - 6)e^{-1} = -9e^{-1} = -\frac{9}{e}

2. Calculamos la derivada de f(x)f(x) para x≤0x \le 0:

f′(x)=ddx((3x−6)ex)f'(x) = \frac{d}{dx}((3x - 6)e^x)
f′(x)=3ex+(3x−6)ex=ex(3+3x−6)=ex(3x−3)=3ex(x−1)f'(x) = 3e^x + (3x - 6)e^x = e^x(3 + 3x - 6) = e^x(3x - 3) = 3e^x(x - 1)

3. Calculamos el valor de la derivada en x0=−1x_0 = -1:

f′(−1)=3e−1(−1−1)=3e−1(−2)=−6e−1=−6ef'(-1) = 3e^{-1}(-1 - 1) = 3e^{-1}(-2) = -6e^{-1} = -\frac{6}{e}

4. Sustituimos los valores en la ecuación de la recta tangente:

y−f(−1)=f′(−1)(x−(−1))y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1))
y−(−9e)=(−6e)(x+1)y - \left(-\frac{9}{e}\right) = \left(-\frac{6}{e}\right)(x + 1)
y+9e=−6e(x+1)y + \frac{9}{e} = -\frac{6}{e}(x + 1)
y=−6ex−6e−9ey = -\frac{6}{e}x - \frac{6}{e} - \frac{9}{e}
y=−6ex−15ey = -\frac{6}{e}x - \frac{15}{e}

Multiplicando por ee para una forma alternativa:

ey=−6x−15ey = -6x - 15
6x+ey+15=06x + ey + 15 = 0